Метод пикара решения. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Пикара. Численные решения ОДУ. Методы Эйлера

Напомним известные теоремы Пикара и Пеано о существовании и единственности решения данной задачи (задачи Коши).

Теорема ПЕАНО утверждает, что решение задачи Коши существует в некоторой окрестности точки Х о, если функция f(x,Y) непрерывна в окрестности точки (X 0 ,Y 0).

Теорема ПИКАРА гласит, что если не только функция f(x,Y), но и ее частная производная f" у (x,Y) также непрерывна в окрестности точки (Х 0 ,У 0), то решение задачи Коши единственно на некотором отрезке, содержащем точку Х 0 .

Доказательство теоремы Пикара следует из общего принципа сжимающих отображений, оно весьма непросто, но обладает существенным преимуществом -оно конструктивно. Причем последовательность функций Y n (x), которая строится в нем, сходится к решению равномерно на отрезке со скоростью геометрической прогрессии. В методе Пикара последовательность функций Y n (x) строится по рекуррентной формуле:

При n= 0,1,2,...,

а за нулевое приближение берется константа Y 0: Y 0 (х)ºY 0 .

Для того, чтобы стало понятно происхождение этой рекуррентной формулы, заметим, что интегральное уравнение

эквивалентно исходной задаче Коши, поскольку любая функция Y(х), являющаяся его решением, удовлетворяет начальному условию Y(Х о)=Y о и уравнению Y"(х)=f(x,Y(х)) и наоборот.

Вопрос: Почему это действительно так?

Пример 4.1 Применим метод Пикара для решения уравнения Y"=Y с начальным условием Y(0)=1. Такая задача эквивалентна поиску решения интегрального уравнения Y=1+òY(t)dt.

В качестве начального приближения берем функцию Y о =1.

Тогда Y 1 =1+òY о (t)dt= 1+òdt= 1+x.

Y 3 = 1+òY 2 (t)dt= 1+ò(1+t+t 2 /2)dt= 1+x+x 2 /2+x 3 /6.

Можно убедиться, что Y n = 1+х+x 2 /2+ ... +x n /n!.

Упражнение 4.1.Доказать последнее равенство строго, используя принцип математической индукции.

Упражнение 4.2.В примере 4.1 найти точное решение Y(Х) и оценить скорость равномерной сходимости Y n (x) -> Y(Х) на отрезке .

В целом, приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на 3 типа:

· аналитические , позволяющие получить приближенное решение Y(х) в виде формулы,

· графические , дающие возможность приближенного построения графика решения Y(х),т.е. интегральной кривой,

· численные , в результате применения которых получается таблица приближенных значений функции Y(х),

хотя такое деление и несколько условно.

Кроме метода Пикара, к аналитическим методам относится и

метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд,

на котором мы сейчас остановимся.

Напишем формальное разложение Y(Х) в ряд Тейлора в точке а:

В это равенство входят производные неизвестной функции Y(Х) в точке а, однако именно в этой точке, пользуясь условиями задачи, мы можем последовательно найти любое число производных и получить необходимое приближение решения. В общем виде это выглядит так: Y о (а)=Y(а)= Y о; Y"(а)=f(a,Y(a))= f(a,Y o)

Дифференцируя данное нам уравнение по Х,получим

Y""(Х)=f" х (x,Y(х))+f" у (x,Y(х))*Y"(х), откуда Y""(а)= f" х (а,Yо)+f" у (a,Y о)*f(a,Y о).

Аналогично получается и значения третьей и дальнейших производных в точке а -дифференцируем нужное число раз исходное уравнение и подставляем полученные ранее значения производных в точке а.

Пример 4.2.Выпишем первые члены разложения в ряд функции Y(x), удовлетворяющей уравнению Y"=2хY и начальному условию Y(0)=1.

Y"""(х)=2 Y"(х)+2 Y"(х)+2х*Y""(х)= 4Y"(х)+2хY""(х), откуда Y"""(0)=0.

Y (4) (х)=4Y""(х)+2хY"""(х), откуда Y (4) (0)=6.

Получаем приближенное решение Y(х)»1+х 2 +0.5х 4 .

Упражнение 4.3.Пользуясь формулой Лейбница для нахождения n-ой производной произведения функций, написать разложение искомой в примере 4.2 функции в ряд Тейлора.

Упражнение 4.4.Найти точное решение в примере 4.2 и оценить качество приближения в примере 4.2 на отрезке [-0.5,0.5].

Описанные выше методы не часто применяются на практике, поскольку в методе Пикара на каждом шаге приходится вычислять интеграл, что осложняет вычисления и ухудшает точность, а в методе разложения в ряд крайне сложно формализовать на любом из языков процесс нахождения производных высокого порядка, а при малом количестве членов разложения этот метод дает хорошее приближение лишь вблизи от точки а.

Среди ГРАФИЧЕСКИХ рассмотрим

1
18.01.2018

Постановка задачи
Дифференциальные
уравнения
устанавливают связь между независимыми
переменными, искомыми функциями и их
производными. Если искомая функция
зависит от одной переменной, то
дифференциальное уравнение называется
обыкновенным.

Постановка задачи
Например, условие равновесия упругой среды
описывается обыкновенным дифференциальным
уравнением:
dTx
Fx 0
dx
Tx – компонента механических
напряжений, F - действующая на
сплошную среду сила в расчёте на
единицу массы
Здесь искомая функция (механическое
напряжени) T(x) зависит от одной переменной
x (координата).

Постановка задачи

В том случае, если искомая функция зависит от
нескольких переменных, дифференциальное уравнение
будет уравнением в частных производных.
Например, движение упругой среды можно описать
уравнением в частных производных:
2u x Tx
2
t
x
ux – смещение среды, ρ – плотность
среды, Tx – компонента напряжений
В этом уравнении функция u(t,x) зависит от времени
(t) и направления смещения среды (x).

Постановка задачи
Обыкновенными дифференциальными уравнениями
(ОДУ) называются уравнения, которые содержат одну или
несколько производных от искомой функции y = y(x):
F (x, y, y ,..., y (n)) 0 ,
где x – независимая переменная.
Наивысший порядок n, входящей в уравнение
производной, называется порядком дифференциального
уравнения.
Например:
F (x, y, y ") 0 уравнение первого порядка;
F (x, y, y " , y") 0 уравнение второго порядка

Постановка задачи
Из общей записи дифференциального уравнения
можно выразить производную в явном виде:
y " f (x, y),
y" f (x, y, y ")
Уравнение для производных имеет бесконечное
множество решений. Для получения единственного
решения необходимо указать дополнительные
условия, которым должны удовлетворять искомые
решения.

Постановка задачи
В зависимости от вида таких условий
рассматривают три типа задач, для которых доказано
существование и единственность решений.
Первый тип – это задачи с начальными
условиями.
Для
таких
задач
кроме
исходного
дифференциального уравнения в некоторой точке x0
должны быть заданы начальные условия, т.е.
значения функции y (x) и её производных: y (x0) =
y0
y" (x0) = y"0 , . . . , y(n-1) (x0) = yn-10 .

Постановка задачи
Второй тип задач – это, так называемые,
граничные, или краевые, в которых
дополнительные условия задаются в виде
функциональных
соотношений
между
искомыми решениями.
Третий тип задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений – это задачи на
собственные значения.

Постановка задачи
Сформулируем задачу Коши.
Найти решение обыкновенного дифференциального
уравнение (ОДУ) первого порядка, разрешенное
относительно производной
y " f (x, y),
удовлетворяющее начальному условию
y (x0) y0

10.

Постановка задачи
Необходимо найти на отрезке такую
непрерывную функцию
y = y(x), которая
удовлетворяет дифференциальному уравнению
y " f (x, y), и начальному условию y (x0) y0
т.е.
найти
решение
дифференциального
уравнения. Нахождение такого решения называют
решением задачи Коши. Численное решение этой
задачи состоит в построении таблицы приближенных
значений y1,y2,...,yn решения уравнения y(x) в точках
x1,x2,...,xn с некоторым шагом h.
xi x0 i h,
i=1,2,...,n.

11.

Обыкновенные
дифференциальные уравнений
Уравнения в частных
производных
z z
dy
0
2(y 3)
2
2
x
y
dx
2
d y
2
2
t
1
2
z
z
dt
3 2 2 4
x
y
3
xdy=y dx
2
y’=x
2
11
2
18.01.2018

12.

Уравнения первого порядка
dy
2(y 3)
dx
Уравнения второго порядка
2
d y
t
1
2
dt
z z
0
2
2
x
y
2
3
xdy=y dx
z z
3 2 2 4
x y
2
2
y′=x
12
2
2
18.01.2018

13.

Пример 1. Для дифференциального уравнения
dy
2x
dx
y0 = 2 при х0 = 1
общее решение: у = х2 +
С
2 = 1 + С, то есть С = 1
М0 (1; 2)
13
18.01.2018

14.

Условие Липшица
R[ a ,b ] {| x x0 | a, | y y0 | b}
f (x, y) f (x, y) N y y
14
18.01.2018

15.

Методы приближенного решения дифференциальных
уравнений
Аналитические методы
Численные методы
Метод последовательных
приближений – метод
Пикара
Метод Эйлера и его
модификации
Метод интегрирования
дифференциальных
уравнений с помощью
степенных рядов
Метод Рунге-Кутта
Экстраполяционный метод
Адамса
15
18.01.2018

16.

18.01.2018

17.

Решить дифференциальное уравнение
у′=f(x, y) численным методом –
это значит для заданной
последовательности аргументов
х0, х1,…,хn и числа у0,
не определяя функцию у=F(x),
найти такие значения у1, y2, …, yn,
что yi=F(xi) и F(x0)=y0.
h=xk-xk-1
18.01.2018

18.

Пусть дано дифференциальное уравнение
первого порядка
y’= f (x, y)
с начальным условием
x=x0, y(x0)=y0
b a
h
n
шаг интегрирования
18.01.2018

19.

19
18.01.2018

20.

xk 1
xk 1
f (x, y) y" dx y(x)
xk
xk 1
xk
y (xk 1) y (xk) yk 1 yk
xk
то есть
yk 1 yk
xk 1
f (x, y)dx
xk
18.01.2018

21.

xk 1
f (x, y)dx f (x , y) x
k
k
xk 1
xk
f (xk , yk)(xk 1 xk) y " h
xk
yk 1 yk y"k h
yk 1 yk y"k h
Обозначим
yk 1 yk yk
yk h y"k
yk 1 yk yk
18.01.2018

22.

y
h
0
x0
x1
x2
x
18.01.2018

23.

Погрешность метода
hM
n
y (xn) y n
(1 hN) 1
2N
где
f (x1 , у1) f (x1 , y2) N y1 y2
df
f
f
f
M
dx
x
y
18.01.2018

24.

Пример 1. Решить у’=у-x с начальным
условием х0=0, у0=1.5 на отрезке , h=0.25
Решение
i
(1)
0
1
2
3
4
5
6
xi
(2)
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
yi
(3)
1.5000
1.875
2.2812
2.7265
3.226
3.7758
4.4072
yi’=yi-xi
(4)
1.5000
1.6250
1.7812
1.9765
2.2206
2.5258
yi hy
"
i
(5)
0.3750
0.4062
0.4453
0.4941
0.5552
0.6314
18.01.2018

25.

Метод Эйлера
Ввод x, y, h, b
Вывод x, y
y: y hf x, y
x: x h
+
x b
конец
18.01.2018

26.

Усовершенствованный метод Эйлера
yn+1 = yn + h·/2
вернемся к разложению функции в ряд Тейлора
повышение точности расчета может быть достигнуто за счет сохранения
члена, содержащего h2. y (t0) можно аппроксимировать конечной разностью:
С учетом этого выражения разложение функции в ряд Тейлора принимает вид
ошибка при этом имеет порядок h3
18.01.2018

27.

18.01.2018

28.

Задача. Пусть дано дифференциальное
уравнение первого порядка
y’= f(x, y)
с начальным условием
x=x0, y(x0)=y0
Найти решение уравнения на отрезке
yi 1 yi yi
18.01.2018

29.

k1 hf (x, y)
h
k1
k 2 hf (x , y)
2
2
h
k2
k3 hf (x , y)
2
2
k4 hf (x h, y k3)
18.01.2018

30.

1
y (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
yi 1 yi yi
18.01.2018

31.

18.01.2018

32.

Погрешность метода Rn(h5)
18.01.2018

33.

Пример 1. Решить дифференциальное
уравнение у′= у-x с начальным
условием х0=0, у(х0)=у0=1.5 методом
Рунге-Кутта. Вычислить с точностью до 0,01.
Решение
k1(0)=(y0-x0)h=1.5000*0.25=0.3750
k 2(0)
k1(0)
h
x0 h (1.5000 0.1875) 0.125 0.25 0.3906
y0
2
2
18.01.2018

34.

k3(0)
k 2(0)
h
x0 h (1.5000 0.1953) 0.125 0.25 0.3926
y0
2
2
k4(0)=[(y0+k3(0))-(x0+h)]h=[(1.5000+0.3926)0.125]*0.25=0.4106
1
y0 (0.3750 2 * 0.3906 2 * 0.3926 0.4106)
6
=0,3920
y1=1.50000+0.3920=1.8920
18.01.2018

35.

18.01.2018

36.

18.01.2018

37.

Метод Рунге-Кутта при решении систем
дифференциальных уравнений
,
y " f (x, y , z)
z
"
g
x
,
y
,
z
18.01.2018

38.

1 (i)
(i)
(i)
(i)
yi (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
1 (i)
(i)
(i)
(i)
zi (l1 2l2 2l3 l4)
6
, где
18.01.2018

39.

(i)
1
k
(i)
1
l
hf (xi , yi , zi)
hq(xi , yi , zi)
18.01.2018

40.

k
l
(i)
2
(i)
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hf (xi , yi
, zi)
2
2
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hq(xi , yi
, zi)
2
2
2
18.01.2018

41.

k
(i)
3
(i)
3
l
(i)
2
(i)
2
(i)
2
(i)
2
h
k
l
hf (xi , yi
, zi)
2
2
2
h
k
l
hq(xi , yi
, zi)
2
2
2
18.01.2018

42.

k
l
,
(i)
4
(i)
4
(i)
3
k
h
(i)
hf (xi , yi
, zi l3)
2
2
(i)
3
k
h
(i)
hq(xi , yi
, z i l3)
2
2
yi 1 yi yi
zi 1 zi zi
18.01.2018

43.

Метод последовательных приближений
43
18.01.2018

44.

Первое приближение:
Второе приближение:
Третье приближение:
…
n-е приближение:
44
18.01.2018

45.

Теорема. Пусть в окрестности точки (х0; у0)
функция f(х, у) непрерывна и имеет
ограниченную частную производную f’y (х, у).
Тогда в некотором интервале, содержащем
точку х0, последовательность { yi(x)}
сходится к функции у(х), служащей
решением дифференциального
уравнения у’ = f(х, у) и
удовлетворяющей условию у (х0) = у0
45
18.01.2018

46.

47. Метод Пикара последовательных приближений

Дифференциальное уравнение n-ого порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого
порядка
y’ = f(x, y)
(1)
с начальными условиями
y(x0) = y0
(2).
Предполагается, что в некоторой окрестности точки
M0(x0, y0) уравнение (1) удовлетворяет условиям теоремы
существования и единственности решения.

48.

Будем строить искомое решение y = y(x) для значений
x x0 .
Случай x x0 аналогичен.
Интегрируя правую и левую части уравнения (1) в
пределах от x0 до x, получим
x
y (x) y (x0) f (x, y)dx
x0
или в силу начального условия (2), будем иметь
x
y (x) y0 f (x, y)dx
x0
(3)

49.

Так как искомая функция y = y(x) находится под
знаком интеграла, то уравнение (3) является
интегральным.
Очевидно, решение интегрального уравнения (3)
удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и
начальному условию (2).
Для нахождения этого решения применим метод
последовательных приближений.
Заменяя в равенстве (3) неизвестную функцию y
данным значением y0, получим первое приближение
x
y1 y0 f (x, y0)dx
x0

50.

Далее подставив в равенстве (3) вместо неизвестной
функции y найденную функцию y1, будем иметь второе
приближение
x
y2 y0 f (x, y1)dx
и т.д.
x0
Все дальнейшие приближения строятся по формуле
x
yn y0 f (x, yn 1)dx
(n = 1, 2, …)
x0
Геометрически
последовательные
приближения
представляют собой кривые yn = yn(x) (n = 1, 2, …),
проходящие через общую точку M0(x0, y0).

51.

y
0
x0
x x+h
x
Замечание.
При
методе
последовательных
приближений в качестве начального приближения y0,
можно выбирать любую функцию, достаточно близкую к
точному решению y.
Например, иногда выгодно в качестве y0 брать
конечный отрезок ряда Тейлора искомого решения.

52.

Заметим,
что
при
пользовании
методом
последовательных приближений аналитичность правой
части дифференциального уравнения необязательна,
поэтому этот метод можно применять и в тех случаях,
когда
разложение
решения
дифференциального
уравнения в степенной ряд невозможно.
Пример 1. Методом последовательных приближений
найти приближенное решение дифференциального
уравнения
y’ = x – y,
Удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1.

53.

Решение. В качестве
возьмем y0(x) = 1. Так как
начального
приближения
x
y 1 (x y)dx
0
то будем иметь
x
x2
y1 1 (x 1)dx 1 x
2
0
Аналогично
3
x2
x
dx 1 x x 2
y2 1 x 1 x
2
6
0
x

54.

Подобным же образом получим
3
4
x
x
y3 1 x x 2
3 24
3
4
5
x
x
x
y4 1 x x 2
3 12 120
и т.д.

55. Система дифференциальных уравнений (метод Пикара)

Дана система дифференциальных уравнений
dy
f (x, y)
dx
(4)
y(x0) y0
(5)
где
Записывая векторное уравнение (4) в интегральной
форме, будем иметь

56.

x
y y0 f (x, y)dx
(6)
x0
где под интегралом от вектор-функции
понимается вектор
x
x0
x
f1 dx
x0
f dx
x
f n dx
x0
f1
f
f n

57.

Последовательные приближения
определяются по формуле
x
y
(p)
y 0 f (x, y
(p 1)
y (p) (p = 1, 2, …)
)dx
x0
Причем обычно полагают
y (0) y
Этот метод годится также для дифференциального
уравнения n-го порядка, если его записать в виде
системы.

58.

Пример 2. Построить несколько последовательных
приближений для решения системы
dy1
dx x y1 y2
dy2 x 2 y 2
1
dx
удовлетворяющего начальным условиям
y1(0) = 1; y2(0) = 0

59.

Решение. Имеем:
x
y1 1 (x y1 y2)dx
0
x
y2 (x2 y12)dx
0
Отсюда, полагая
y1(0) = 1;
y2(0) = 0
получаем
x
2
x
(1)
y1 1 (x 0)dx 1
2
0
x
3
x
(1)
y2 (x 2 1)dx x
3
0

60.

x 2
x 3
x 4 x6
1 x 1 x dx 1
2
3
24 36
0
x
(2)
1
y
4
5
2
x
x
x 1 x 2 dx x
4
20
0
x
y2
(2)
и т.д.

61.

Окончание вычислений
n 1
h
| y yn | N M
(n 1)!
n
61
18.01.2018

Это приближенный метод решения, являющийся обобщением метода последовательных приближений (см. главу V, § 2). Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка

Интегрируя дифференциальное уравнение, заменим эту задачу эквивалентным ей интегральным уравнением типа Вольтерра

Решая это интегральное уравнение методом последовательных приближений, получим итерационный процесс Пикара

(приближенное решение, в отличие от точного, мы будем обозначать через у). На каждой итерации этого процесса интегрирование выполняется либо точно, либо численными методами, описанными в главе IV.

Докажем сходимость метода, предполагая, что в некоторой ограниченной области правая часть непрерывна и удовлетворяет по переменной и условию Липшица

Поскольку область ограничена, то выполняются соотношения Обозначим погрешность приближенного решения через Вычитая (8) из (9) и используя условие Липшица, получим

Решая это рекуррентное соотношение и учитывая, что найдем последовательно

Отсюда следует оценка погрешности

Видно, что при , т. е. приближенное решение равномерно сходится к точному во всей области .

Пример. Применим метод Пикара к задаче Коши для уравнения (3), решение которого не выражается через элементарные функции

В этом случае квадратуры (9) вычисляются точно, и мы легко получаем

и т. д. Видно, что При эти приближения быстро сходятся и позволяют вычислить решение с высокой точностью,

Из этого примера видно, что метод Пикара выгодно применять, если интегралы (9) удается вычислить через элементарные функции. Если же правая часть уравнения (7) более сложна, так что эти интегралы приходится находить численными методами, то метод Пикара становится не слишком удобным.

Метод Пикара легко обобщается на системы уравнений способом, описанным в п. 2. Однако на практике чем выше порядок системы, тем реже удается точно вычислять интегралы в (9), что ограничивает применение метода в этом случае.

Имеется много других приближенных методов. Например, С. А. Чаплыгин предложил метод, являющийся обобщением алгебраического метода Ньютона на случай дифференциальных уравнений. Другой способ обобщений метода Ньютона предложил Л. В. Канторович в 1948 г. В обоих этих методах, так же как и в методе Пикара, итерации выполняются при помощи квадратур. Однако квадратуры в них имеют гораздо более сложный вид, чем (9), и редко берутся в элементарных функциях. Поэтому эти методы почти не применяют.

Цель работы: сформировать у студентов представление о применении ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ у " = f (x , y ) на отрезке [ a , b ] при заданном начальном условии у 0 = f (x 0) методами Пикара, Эйлера, Рунге – Кутты, Адамса; развить навыки проверки полученных результатов с помощью прикладных программ.

Метод Пикара

Пример 5.1.

: у h = 0,1 методом Пикара с шагом h .

В отчете представить: ход работы, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения.

Решение.

1. Вводим данные (рис. 5.1)

a = 1,7 b = 2,7

h = 0,1

y 0 = 5,3 i = 0..n

Рис.5.1. Задание исходных данных

2. Задаем функцию, возвращающую значения первой производной по переменной у (рис.5.2).

f derive(y ) =

Рис.5.2. Функция, возвращающая значение первой производной функции

3. Составим функцию, возвращающую решение ДУ методом

Пикара. Здесь: f – исходнаяфункция; f deriv –

Производная функции по у ; a ,b – концы отрезка; h – шаг; у 0 –

начальное значение переменной у .

4. Найдем решение ДУ методом Пикара (рис. 5.3).

fnPikan(fn, fn derive, a, b, h, y0)=

Рис. 5.3. Задание функции, возвращающей решение ДУ

методом Пикара (файл fnPikar.mcd)

fnPikar(f, f derive, a, b, 0.1, y0) =


	7,78457519486·10 -11
	5,3
	5,46340155616
	5,62650688007
	5,78947945853
	5,95251650231
	6,11584391144
	6,27971330675
	6,44440084325
	6,61020759752
	6,77746140952
	6,94652015221

Рис. 5.4. Нахождение численного решения ДУ методом Пикара

Метод Эйлера и его модификации

Пример 5.2.

у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагами h и h /2.

Решение.

Ход решения задачи по методу Эйлера приведен на рис. 5.5 – 5.7.

а = 1,7 b = 2,7 у0 = 5,3

y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05

Рис5.5. Фрагмент рабочего листа Маthcad с решением

уравнения методом Эйлера с шагом h и h /2 и графической

визуализацией метода Эйлера.

1. Составим программу, реализующую метод Эйлера(рис.

Рис.5.6. Листинг программы, реализующий метод Эйлера

2. Получим решение ДУ методом Эйлера(рис. 5.7.).

ES h = eyler(f, a, b, h, y0)

ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)

Рис. 5.7. Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера

Примечание

Функцию, возвращающую решение ДУ усовершенствованным методом Эйлера, составить самостоятельно.

Рис. 5.8. Решение ДУ усовершенствованным методом

Эйлера с шагами h и h /2

5.3. Метод Рунге – Кутты

На практике наиболее часто используют метод Рунге – Кутты четвертого порядка.

Пример 5.3.

Решить задачу Коши для ДУ на отрезке при заданном НУ у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Рунге – Кутты четвертого порядка с шагом h и 2h .

В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.

Решение.

1. Вводим данные задачи (рис. 5.9).

a = 1,7 b = 2,7

h = 0,1

y 0 = 5,3

i = 0..n

Рис.5.9. Задание исходных данных

2. Составим функцию, возвращающую решение ДУ первого порядка методом Рунге – Кутты. Здесь: fn – заданная функция; a , b – концы отрезка; h – шаг; y 0 – начальное значение функции.

3. Найдем решение ДУ первого порядка, используя встроенные функции Mathcad (рис. 5.10).

RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)

RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)

Рис. 5.10. Листинг функции, возвращающей численное

решение ДУ методом Рунге–Кутты

Метод Адамса

Пример 5.4.

Решить задачу Коши для ДУ на отрезке при заданном НУ у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Адамса с шагом h .

В отчете представить: ручной счет, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.

Решение.

1. Найдем первые четыре числа по формуле Рунге–Кутты (рис. 5.11).

y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i

Рис. 5.11. Вычисление первых четырех значений численного решения по формуле Рунге–Кутты

2. Составим функцию, реализующую метод Адамса (рис. 2.10.3). Здесь a , b – концы отрезка; y 1 – начальное значение функции; h – шаг.

Рис. 5.12. Функция, возвращающая численное решение

ДУ методом Адамса

3. Графическая иллюстрация решения ДУ разными методами представлена на рис. 5.13.

Рис. 5.13. Визуализация решения ДУ разными методами

Вопросы по теме

1. Что значит – решить задачу Коши для ДУ первого порядка?

2. Графическая интерпретация численного решения ДУ.

3. Какие существуют методы решения ДУ в зависимости от

формы представления решения?

4. В чем заключается суть принципа сжимающих

отображений?

5. Рекуррентная формула метода Пикара.

6. В чем заключается суть метода ломаных Эйлера?

7. Применение, каких формул позволяет получить значения

искомой функции по методу Эйлера?

8. Графическая интерпретация метода Эйлера и

усовершенствованного метода Эйлера. В чем их отличие?

9. В чем заключается суть метода Рунге–Кутты?

10. Как определить количество верных цифр в числе,

являющемся решением ДУ методом Эйлера,

усовершенствованного метода Эйлера, Пикара, Рунге–

Задание к лабораторной работе № 5

Задание 5.1.

Решить задачу Коши для ДУ y ’ = f (x , y ) на отрезке [a , b ] при заданном НУ у (а ) = с и шаге интегрирования h (исходные параметры заданы в табл. 2.10.1):

1) методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагом h и h /2;

2) методом Рунге–Кутты с шагом h и 2h ;

3) методом Адамса;

4) методом Пикара.

Решение должно содержать: ход работы, программу метода, графическое решение уравнения и оценка погрешности приближения. В числах оставлять 5 цифр после запятой.

Таблица 5.1. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

№	f(x , y )	[a , b ]	y 0	h
	3х 2 + 0,1ху		у (0) = 0,2	0,1
	0,185(x 2 + cos(0,7x )) + 1,843y		у (0,2) = 0,25	0,1
			у (1,6) = 4,6	0,1
			у (0,2) = 1,1	0,1
			у (1,4) = 2,5	0,1
			у (1,7) = 5,3	0,1
			у (2,6) = 3,5	0,2
			у (2) = 2,3	0,1
	1,6 + 0,5y 2		у (0) = 0,3	0,1
			у (1,8) = 2,6	0,1
			у (2,1) = 2,5	0,1
	e 2x + 0,25y 2		у (0) = 2,6	0,05
		[- 2; -1]	у (-2) = 3	0,1
	0,133·(x 2 + sin(2x )) + 0,872y		у (0,2) = 0,25	0,1
	sin(x + y ) +1,5		у (1,5) = 4,5	0,1
			у (0,4) = 0,8	0,1
	2,5x + cos(y + 0,6)		у (1) = 1,5	0,2
	cos(1,5y +x ) 2 + 1,4		у (1) = 1,5	0,1
			у (1,5) = 2,1	0,05
	cos y + 3x		у (0) = 1,3	0,1
	cos(1,5x – y 2) – 1,3	[-1; 1]	у (-1) = 0,2	0,2
			у (1,6) = 4,6	0,1
	e -(y – 1) + 2x		у (0) = 0,3	0,05
	1 + 2y sin x – y 2		у (1) = 0	0,1
			у (0) = 0	0,1
	0,166(x 2 + sin(1,1x )) + 0,883y		у (0,2) = 0,25	0,1
			у (1,7) = 5,6	0,1
			у (1,4) = 2,5	0,1
			у (0,6) = 0,8	0,1
			у (1) = 5,9	0,1
	1 + 0,8y sin x - 2y 2		у (0) = 0	0,1
			у (0,5) = 1,8	0,1
			у (1,2) = 1,8	0,1
	1 + 2,2 · sin x + 1,5y 2		у (0) = 0	0,1
			у (0) = 0	0,1
			у (0) = 0	0,1
			у (0) = 0	0,1
	0,2x 2 + y 2		у (0) = 0,8	0,1
	x 2 + y		у (0) = 0,4	0,1
	xy + 0,1y 2		у (0) = 0,5	0,1

Литература

Основная литература :

Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математические методы в

пищевой инженерии: Учебное пособие. – СПб.: «Лань», 2012. – 212 с.

Алексеев Г.В. Математические методы в инженерии: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ. 2012. – 39 с.

Алексеев Г.В., Холявин И.И. Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация: учебное пособие для вузов, ГИЭФПТ, 2011, 211 с.

Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2009. - 384 с.

дополнительная литература :

Поршнев С.В.,Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –

СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.

Агапьев Б.Д., Белов В.Н., Кесаманлы Ф.П., Козловский В.В., Марков С.И. Обработка экспериментальных данных: Учеб. пособие / СПбГТУ. СПб., 2001.

ГореловаГ.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. – М.: Феникс, 2005. – 476 с.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.-М.: Наука, 1976

Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента.-М.: Радио и связь, 1983

Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента.-М.: Наука, 1976

Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия.-М.: Финансы и статистика, 1981

Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента.-Минск: БГУ, 1982

Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента.-М.: Наука,1979

Фролькис В.А. Линейная и нелинейная оптимизация.-СПб. 2001. 306 с.

Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.-СПб.: BHV,1997,384с

программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

http://www.open-mechanics.com/journals - Процессы и аппараты пищевых производств

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Механика жидкости и газа, гидравлика и гидравлические машины

http://elibrary.ru/defaultx.asp - научная электронная библиотека «Elibrary»

Введение

1.Лабораторная работа №1: Теория приближенных вычислений

1.1. Абсолютная и относительная погрешности

1.2. Погрешность округленного числа

1.3. Погрешности арифметических действий

1.4. Погрешности элементарных функций

1.5. Способ границ

1.6. Обратная задача теории погрешностей

1.7. Вопросы по теме

1.8. Задания к лабораторной работе №1

2.Лабораторная работа №2:Численные методы решения

скалярных уравнений

1.1. Метод хорд

1.2. Метод касательных

1.3. Метод простой итерации

1.4. Вопросы по теме

1.5. Задания к лабораторной работе №2

3.Лабораторная работа №3: Численные методы решения систем

нелинейных уравнений

3.1. Метод Ньютона

3.2. Вопросы по теме

3.3. Задание к лабораторной работе №3

4.Лабораторная работа№4: Численное интегрирование

4.1. Метод прямоугольников

4.2. Метод Симпсона

4.3. Метод трапеций

4 .4. Метод Монте – Карло

4.5. Вопросы по теме

4.6. Задание к лабораторной работе №4

5. Лабораторная работа №5: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1. Метод Пикара

5.2. Метод Эйлера и его модификации

5.3. Метод Рунге – Кутты

Билет № 5.3. Общесистемная модель объекта управления. Характеристика групп переменных. Управленческое решение с позиций модели. Проблема «выходных» переменных и пути ее решения

Метод Пикара Пикар Шарль Эмиль (1856-1941) -- французский математик.

Этот метод позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения (1) в виде функции, представленной аналитически.

Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решение уравнения (1) с начальным условием (2). Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от до:

Решение интегрального уравнения (9) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Действительно, при, получим:

Вместе с тем, интегральное уравнение (9) позволяет применить метод последовательных приближений. Будем рассматривать правую часть формулы (9) как оператор, отображающий всякую функцию (из того класса функций, для которых интеграл, входящий в (9), существует) в другую функцию того же класса:

Если этот оператор является сжимающим (что следует из условия теоремы Пикара), то можно строить последовательность приближений, сходящуюся к точному решению. В качестве начального приближения принимается, и находится первое приближение

Интеграл в правой части содержит только переменную x; после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражение приближения как функции переменной x. Далее заменим в правой части уравнения (9) y найденным значением и получим второе приближение

и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид

(n=1, 2…) (10)

Циклическое применение формулы (10) дает последовательность функций

сходящуюся к решению интегрального уравнения (9) (а, следовательно, и дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2)). Это так же обозначает, что k-й член последовательности (11) является приближением к точному решению уравнения (1) с определенной контролируемой степенью точности.

Заметим, что при пользовании методом последовательных приближений аналитичность правой части дифференциального уравнения не обязательна, поэтому метод этот можно применять и в тех случаях, когда разложение решения дифференциального уравнения в степенной ряд невозможно.

Погрешность метода Пикара

Оценка погрешности k-го приближения дается формулой

где y(x) - точное решение, - константа Липшица из неравенства (4).

На практике метод Пикара используется очень редко. Одна из причин - та, что интегралы, которые необходимо вычислять при построении очередных приближений, чаще всего аналитически не находятся, а применение их для вычисления численных методов так усложняет решение, что становится гораздо удобнее непосредственно применять другие методы, которые изначально являются численными.

Примеры решения задачи в Maple

Задача №1: Методом последовательных приближений найти значение, где - решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию, на отрезке, приняв шаг (расчет вести до второго приближения).

Дано: - дифференциальное уравнение

Начальное условие

Интервал

Найти: значение

Решение: