Цель: сформировать представление об особенностях деформирования и расчета на прочность тонкостенных оболочек и толстостенных цилиндров.
Расчет тонкостенных оболочек
Оболочка - это элемент конструкции, ограниченный поверхностями, расположенными на близком расстоянии друг от друга. Оболочка называется тонкостенной, если для нее выполняется условие р/h> 10, где h - толщина оболочки; р- радиус кривизны срединной поверхности, которая представляет собой геометрическое место точек, равноотстающих от обеих поверхностей оболочки.
К деталям, моделью формы которых принимают оболочку, относятся автомобильные покрышки, сосуды, гильзы ДВС, несущие кузова автомобилей, фюзеляжи самолетов, корпуса кораблей, купола перекрытий и т. д.
Следует отметить, что оболочечные конструкции во многих случаях являются оптимальными, т. к. на их изготовление затрачивается минимум материалов.
Характерной чертой большинства тонкостенных оболочек является то, что по форме они представляют собой тела вращения, т. е. каждая их поверхность может быть образована вращением некоторой кривой (профиля) вокруг неподвижной оси. Такие тела вращения называются осесимметричными. На рис. 73 приведена оболочка, срединная поверхность которой получена вращением профиля ВС вокруг оси АС.
Выделим из срединной поверхности в окрестностях точки К. , лежащей на этой поверхности, бесконечно малый элемент 1122 двумя меридиональными плоскостями АСт и АСт 2 с углом d(p между ними и двумя нормальными к меридианам сечениями HO t и 220 2 .
Меридиональным называется сечение (или плоскость), проходящее через ось вращения АС. Нормальным называется сечение, перпендикулярное меридиану ВС.
Рис. 73.
Нормальные сечения для рассматриваемого сосуда являются коническими поверхностями с вершинами 0 и О г, лежащими на оси АС.
Введем следующие обозначения:
р т - радиус кривизны дуги 12 в меридиональном сечении;
р, - радиус кривизны дуги 11 в нормальном сечении.
В общем случае р т и р, являются функцией угла в - угла между осью АС и нормалью 0,1 (см. рис. 73).
Особенностью работы оболочечных конструкций является то, что все ее точки, как правило, находятся в сложном напряженном состоянии и для расчетов оболочек применяют теории прочности.
Для определения напряжений, возникающих в тонкостенной оболочке, обычно пользуются так называемой безмоментной теорией. По этой теории полагают, что среди внутренних усилий отсутствуют изгибающие моменты. Стенки оболочки работают только на растяжение (сжатие), а напряжения равномерно распределены по толщине стенки.
Эта теория применима в том случае, если:
- 1) оболочка представляет собой тело вращения;
- 2) толщина стенки оболочки S весьма мала по сравнению с радиусами кривизны оболочки;
- 3) нагрузка, газовое или гидравлическое давление распределены полярно симметрично относительно оси вращения оболочки.
Совокупность этих трех условий позволяет принять гипотезу о неизменности напряжения по толщине стенки в нормальном сечении. Основываясь на этой гипотезе, заключаем, что стенки оболочки работают только на растяжение или сжатие, так как изгиб связан с неравномерным распределением нормальных напряжений по толщине стенки.
Установим положение главных площадок, т. е. тех площадок (плоскостей), в которых отсутствуют касательные напряжении (т= 0).
Очевидно, что любое меридиональное сечение разделяет тонкостенную оболочку на две части, симметричные как в геометрическом, так и в силовом соотношении. Так как соседние частицы деформируются одинаково, то между сечениями полученных двух частей отсутствует сдвиг, значит, в меридиональной плоскости касательные напряжения отсутствуют (т = 0). Следовательно, она является одной из главных площадок.
В силу закона парности не будет касательных напряжений и в сечениях, перпендикулярных меридиональному сечению. Следовательно, нормальное сечение (площадка) также является главным.
Третья главная площадка перпендикулярна двум первым: в наружной точке К (см. рис. 73) она совпадает с боковой поверхкостью оболочки, в ней г = о = 0, таким образом, в третьей главной площадке о 3 = 0. Поэтому материал в точке К испытывает плоское напряженное состояние.
Для определения главных напряжений выделим в окрестностях точки К бесконечно малый элемент 1122 (см. рис. 73). На гранях элемента возникают только нормальные напряжения а„ и о, . Первое из них а т называется меридиональным, а второе а, - окружным напряжением, которые являются главными напряжениями в данной точке.
Вектор напряжения а, направлен по касательной к окружности, полученной от пересечения срединной поверхности нормальным сечением. Вектор напряжения о„ направлен по касательной к меридиану.
Выразим главные напряжения через нагрузку (внутреннее давление) и геометрические параметры оболочки. Для определения а т и а, нужны два независимых уравнения. Меридиональное напряжение о„ можно определить из условия равновесия отсеченной части оболочки (рис. 74, а):
Подставив г-р т sin 9, получим
Второе уравнение получаем из условия равновесия элемента оболочки (рис. 74, б). Если спроектировать все силы, действующие на элемент, на нормаль и приравнять полученное выражение нулю, то получаем
Ввиду малых углов принимаем
В результате проведенных математических преобразований получаем уравнение следующего вида:
Данное уравнение носит название уравнения Лапласа и устанавливает зависимость между меридианальным и окружным напряжениями в любой точке тонкостенной оболочки и внутренним давлением.
Так как опасный элемент тонкостенной оболочки находится в плоском напряженном состоянии, на основании полученных результатов с т
и a h
а также исходя из зависимости
Рис. 74. Фрагмент тонкостенной осесимметричной оболочки: а ) схема нагружения; б) напряжения, действующие по граням выделенного элемента оболочки
Так, по третьей теории прочности: а" 1 =&-ст ъ
Таким образом, для цилиндрических сосудов радиуса г и толщины стенок И получаем
исходя из уравнения равновесия отсеченной части, а„
следовательно, а, а т, = 0.
При достижении предельного давления цилиндрический сосуд (в том числе все трубопроводы) разрушается по образующей.
Для сферических сосудов (р, = р т = г) применение уравнения Лапласа дает следующие результаты:
_ Р г рг _ рг
о, = о т = -, следовательно, = а 2 = и„ = -,
2 h 2 h 2 h
Из полученных результатов становится очевидно, что по сравнению с цилиндрическим сосудом сферический является более оптимальной конструкцией. Предельное давление в сферическом сосуде в два раза больше.
Рассмотрим примеры расчета тонкостенных оболочек.
Пример 23. Определить необходимую толщину стенок ресивера, если внутреннее давление р- 4 атм = 0,4 МПа; R = 0,5 м; [а]= 100 МПа (рис. 75).
Рис. 75.
- 1. В стенке цилиндрической части возникают меридианаль- ные и окружные напряжения, связанные уравнением Лапласа: а т о, Р
- -+-=-. Необходимо найти толщину стенки п.
Рт Р, h
2. Напряженное состояние точки В - плоское.
Условие прочности: er" =сг 1 -ет 3 ?[
- 3. Необходимо выразить и о$ через сг„ и а, в буквенном виде.
- 4. Величину а„, можно найти из условия равновесия отсеченной части ресивера. Величину напряжения а, - из условия Лапласа, где р т = со.
- 5. Подставить найденные величины в условие прочности и выразить через них величину И.
- 6. Для сферической части толщина стенки h определяется аналогично, с учетом р„= р,- R.
1. Для цилиндрической стенки:
Таким образом, в цилиндрической части ресивера о, > о т и 2 раза.
Таким образом, h = 2 мм - толщина цилиндрической части ресивера.
Таким образом, h 2 = 1 мм - толщина сферической части ресивера.
В инженерной практике широкое применение находят такие конструкции, как цистерны, водонапорные резервуары, газгольдеры, воздушные и газовые баллоны, купола зданий, аппараты химического машиностроения, части корпусов турбин и реактивных двигателей и т.д. Все эти конструкции с точки зрения их расчета на прочность и жесткость могут быть отнесены к тонкостенным сосудам (оболочкам) (Рис.13.1,а).
Характерной
особенностью большинства тонкостенных
сосудов является то, что по форме они
представляют тела вращения, т.е. их
поверхность может быть образована
вращением некоторой кривой
вокруг осиО
-О
.
Сечение сосуда плоскостью, содержащей
ось О
-О
,
называется меридиональным
сечением
, а
сечения, перпендикулярные к меридиональным
сечениям, называются окружными
.
Окружные сечения, как правило, имеют
вид конуса. Показанная на рис 13.1б нижняя
часть сосуда отделена от верхней окружным
сечением. Поверхность, делящая толщину
стенок сосуда пополам, называется
срединной
поверхностью
.
Считается, что оболочка является
тонкостенной, если отношение наименьшего
главного радиуса кривизны в данной
точке поверхности к толщине стенки
оболочки превышает число 10
.
Рассмотрим
общий случай действия на оболочку
какой-либо осесимметричной нагрузки,
т.е. такой нагрузки, которая не меняется
в окружном направлении и
может
меняться лишь вдоль меридиана. Выделим
из тела оболочки двумя окружными и двумя
меридиональными сечениями элемент
(Рис.13.1,а).
Элемент
испытывает растяжение во взаимно
перпендикулярных направлениях и
искривляется. Двустороннему растяжению
элемента соответствует равномерное
распределение нормальных напряжений
по толщине стенки
и возникновение в стенке оболочки
нормальных усилий. Изменение кривизны
элемента предполагает наличие в стенке
оболочки изгибающих моментов. При изгибе
в стенке балки возникают нормальные
напряжения, меняющиеся по толщине
стенки.
При действии осесимметричной нагрузки влиянием изгибающих моментов можно пренебречь, так как преобладающее значение имеют нормальные силы. Это имеет место тогда, когда форма стенок оболочки и нагрузка на нее таковы, что возможно равновесие между внешними и внутренними усилиями без появления изгибающих моментов. Теория расчета оболочек, построенная на предположении, что нормальные напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует, называется безмоментной теорией оболочек . Безмоментная теория хорошо работает, если оболочка не имеет резких переходов и жестких защемлений и, кроме того, не нагружена сосредоточенными силами и моментами. Кроме того, эта теория дает более точные результаты, чем меньше толщина стенки оболочки, т.е. чем ближе к истине предположение о равномерном распределении напряжений по толщине стенки.
При наличии сосредоточенных сил и моментов, резких переходов и защемлений сильно усложняется решение задачи. В местах крепления оболочки и в местах резких изменений формы возникают повышенные напряжения, обусловленные влиянием изгибающих моментов. В этом случае применяется так называемая моментная теория расчета оболочек . Следует отметить, что вопросы общей теории оболочек выходят далеко за рамки сопротивления материалов и изучается в специальных разделах строительной механики. В настоящем пособии при расчете тонкостенных сосудов рассматривается безмоментная теория для случаев, когда задача определения напряжений, действующих в меридиональном и окружном сечениях, оказывается статически определимой.
13.2. Определение напряжений в симметричных оболочках по безмоментной теории. Вывод уравнения Лапласа
Рассмотрим осесимметричную тонкостенную оболочку, испытывающую внутреннее давление от веса жидкости (Рис.13.1,а). Двумя меридиональными и двумя окружными сечениями выделим из стенки оболочки бесконечно малый элемент и рассмотрим его равновесие (Рис.13.2).
В
меридиональных и окружных сечениях
касательные напряжения отсутствуют
ввиду симметрии нагрузки и осутствия
взаимных сдвигов сечений. Следовательно,
на выделенный элемент будут действовать
только главные нормальные напряжения:
меридиональное напряжение
иокружное
напряжение
.
На основании безмоментной теории будем
считать, что по толщине стенки напряжения
и
распределены равномерно. Кроме того,
все размеры оболочки будем относить к
срединной поверхности ее стенок.
Срединная
поверхность оболочки представляет
собой поверхность двоякой кривизны.
Радиус кривизны меридиана в рассматриваемой
точки обозначим
,
радиус кривизны срединной поверхности
в окружном направлении обозначим
.
По граням элемента действуют силы
и
.
На внутреннюю поверхность выделенного
элемента действует давление жидкости
,
равнодействующая которого равна
.
Спроектируем приведенные выше силы на
нормаль
к поверхности:
Изобразим проекцию элемента на меридиональную плоскость (Рис.13.3) и на основании этого рисунка запишем в выражении (а) первое слагаемое. Второе слагаемое записывается по аналогии.
Заменяя в (а) синус его аргументом ввиду
малости угла и разделив все члены
уравнения (а) на
,
получим:
(б).
Учитывая, что кривизны меридионального
и окружного сечений элемента равны
соответственно
и
,
и подставляя эти выражения в (б) находим:
.
(13.1)
Выражение (13.1) представляет собой уравнения Лапласа, названного так в честь французского ученого, который получил его в начале XIXвека при изучении поверхностного натяжения в жидкостях.
В уравнение (13.1) входят два неизвестных
напряжения
и
.
Меридиональное напряжение
найдем, составив уравнение равновесия
на ось
сил, действующих на отсеченную часть
оболочки (Рис.12.1,б). Площадь окружного
сечения стенок оболочки посчитаем по
формуле
.
Напряжения
ввиду симметрии самой оболочки и нагрузки
относительнго оси
распределены по площади равномерно.
Следовательно,
,
(13.2)
где
вес части сосуда
и жидкости, лежащих ниже рассматриваемого
сечения;
давление жидкости, по закону Паскаля
одинаковое во всех направлениях и равное
,
где
глубина рассматриваемого сечения, а
вес единицы объема
жидкости. Если жидкость хранится в
сосуде под некоторым избыточным в
сравнении с атмосферным давлением
,
то в этом случае
.
Теперь, зная напряжение
из уравнения Лапласа (13.1) можно найти
напряжение
.
При решении практических задач ввиду
того, что оболочка тонкая, можно вместо
радиусов срединной поверхности
и
подставлять радиусы наружной и внутренней
поверхностей.
Как уже отмечалось окружные и меридиональные
напряжения
и
являются главными напряжениями. Что
касается третьего главного напряжения,
направление которого нормально к
поверхности сосуда, то на одной из
поверхностей оболочки (наружной или
внутреннейв
зависимости от того, с какой стороны
действует давление на оболочку) оно
равно
,
а на противоположной – нулю. В тонкостенных
оболочках напряжения
и
всегда значительно больше
.
Это означает, что величиной третьего
главного напряжения можно пренебречь
по сравнению с
и
,
т.е. считать его равным нулю.
Таким образом, будем считать, что материал оболочки находится в плоском напряженном состоянии. В этом случае для оценки прочности в зависимости от состояния материала следует пользоваться соответствующей теорией прочности. Например, применив четвертую (энергетическую) теорию, условие прочности запишем в виде:
Рассмотрим несколько примеров расчета безмоментнтых оболочек.
Пример 13.1.
Сферический сосуд находится
под действием равномерного внутреннего
давления газа
(Рис.13.4).
Определить напряжения действущие в
стенке сосуда и оценить прочность сосуда
с использованием третьей теории
прочности. Собственным весом стенок
сосуда и весом газа пренебрегаем.
1. Ввиду круговой симметрии оболочки и
осесимметричности нагрузки напряжения
и
одинаковы во всех точках оболочки.
Полагая в (13.1)
,
,
а
,
получаем:
.
(13.4)
2. Выполняем проверку по третьей теории прочности:
.
Учитывая, что
,
,
,
условие прочности принимае вид:
.
(13.5)
Пример 13.2.
Цилиндрическая оболочка
находится под действием равномерного
внутреннего давления газа
(Рис.13.5). Определить окружные и
меридиональные напряжения, действующие
в стенке сосуда, и оценить его прочность
с использованием четвертой теории
прочности. Собственным весом стенок
сосуда и весом газа пренебречь.
1. Меридианами в цилиндрической части
оболочки являются образующие, для
которых
.
Из уравнения Лапласа (13.1) находим окружное
напряжение:
.
(13.6)
2. По формуле (13.2) находим меридиональное
напряжение, полагая
и
:
.
(13.7)
3. Для оценки прочности принимаем:
;
;
.
Условие прочности по четвертой теории
имеет вид (13.3). Подставляя в это условие
выражения для окружных и меридиональных
напряжений (а) и (б), получаем
Пример 12.3.
Цилиндрический резервуар
с коническим днищем находится под
действием веса жидкости (Рис.13.6,б).
Установить законы изменения окружных
и меридиональных напряжений в пределах
конической и цилиндрической части
резервуара, найти максимальные напряжения
и
и построить эпюры распределения
напряжений по высоте резервуара. Весом
стенок резервуара пренебречь.
1. Находим давление жидкости на глубине
:
.
(а)
2. Определяем окружные напряжения из
уравнения Лапласа, учитывая, что радиус
кривизны меридианов (образующих)
:
.
(б)
Для конической части оболочки
;
.
(в)
Подставляя (в) в (б) получим закон изменения окружных напряжений в пределах конической части резервуара:
.
(13.9)
Для цилиндрической части, где
закон распределения окружных напряжений
имеет вид:
.
(13.10)
Эпюра
показана на рис.13.6,а. Для конической
части эта эпюра параболическая. Ее
математический максимум имеет место в
середине общей высоты при
.
При
он имеет условное значение, при
максимум напряжений попадает в пределы
конической части и имеет реальное
значение.
Выполненные ранее работы и работы на заказ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)
Гидравлика
Методичка 578
Первая методичка.
Выдается на факультетах 3 и 8.
Решение задач по гидравлике 350руб
. Вы можете скачать бесплатно решение задачи 1 по гидравлике из этой методички. Готовые задачи из этой методички продаются со скидкой
Номера решенных задач: 1 Скачать стр.1 Скачать стр.2 , 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 39, 43, 42, 44, 45, 46, 47, 50, 53, 54, 56, 57, 60, 61, 62, 65, 66, 68, 69, 74, 76, 80, 81, 83, 84, 85, 86, 89, 90, 93, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 105, 109, 111, 112, 117, 120, 121, 129, 130, 133, 139, 140, 142, 152
Ниже приведены условия решенных задач по гидравлике
Решенные задачи с 001 по 050
Условия задач 1-3: К резервуару заполненному бензином, присоединены три различных прибора для измерения давления: пружинный манометр, пьезометрическая трубка и двухколенный манометр, заполненный бензином, водой и ртутью. Какое преимущество в эксплуатации дает двухколенный манометр по сравнению с пьезометрической трубкой при заданном положении уровней.
Условия задач 4-7: Два резервуара, заполненные спиртом и водой, соединены между собой трехколенным манометром, в котором находятся спирт, ртуть, вода и воздух. Положение уровней жидкостей измеряется относительно одной общей плоскости. Уровень спирта в левом резервуаре h1=4м, уровень воды в правом h6=3м. Давление в резервуарах контролируется с помощью манометра и вакуумметра.
Условия задач 8-11: В бак-отстойник залита смесь масла с водой в объемном соотношении 3:1 под давлением, контролируемым с помощью пружинного манометра. Уровни жидкостей и границы раздела определяются по двум мерным стеклам; в первое подаются обе жидкости, во второе только вода. Граница раздела масла и воды в баке-отстойнике установилась на высоте 0,2м.
Условия задач 12-13: Давление Р на поверхности воды в резервуаре измеряется ртутным U-образным манометром. Плотность воды 1000 кг/м3; ртути 13600 кг/м3.
Условия задач 14-20: Цилиндрический сосуд диаметром 0.2м, высотой 0.4м заполнен водой и опирается на плунжер диаметром 0.1м. Масса крышки сосуда составляет 50кг, цилиндрической части 100кг, днища 40кг. Давление в сосуде определяется при помощи пружинного манометра. Плотность воды 1000кг/м^3.
Условия задач 21-22: Цилиндрический сосуд первоначально был установлен на неподвижной опоре и заполнен водой до уровня при открытом верхнем вентиле. Затем вентиль закрыли, а опору убрали. При этом сосуд опустился вдоль плунжера до положения равновесия, сжимая образовавшуюся внутри воздушную подушку.
Условия задач 23-28: К замкнутому цилиндрическому сосуду диаметром 2м и высотой 3м присоединена трубка, нижним концом опущенная под уровень жидкости в открытом резервуаре. Внутренний объем сосуда может сообщаться с атмосферой через кран 1. На нижней трубке также установлен кран 2. Сосуд расположен на высоте над поверхностью жидкости в резервуаре и первоначально заполняется водой через кран 1 до уровня 2м при закрытом кране 2 (давление в газовой подушке - атмосферное). Затем верхний кран закрывают, а нижний - открывают, при этом часть жидкости сливается в резервуар. Процесс расширения газа считать изотермическим.
Условия задач 29-32: Два сосуда, площадь поперечных сечений которых соединены друг с другом горизонтальной трубой, внутри которой свободно без трения может перемещаться поршень площадью.
Условия задач 33-38: Цилиндрический сосуд диаметром 0,4м заполнен водой до уровня 0,3м и висит без трения на плунжере диаметром 0,2м. Масса крышки 10кг, цилиндра 40кг,днища 12кг.
Условия задач 39-44: Толстостенный колокол массой 1,5т плавает при атмосферном давлении на поверхности жидкости. Внутренний диаметр колокола 1м, наружный 1,4м, высота его 1,4м.
Условия задач 45-53: Сосуд,состоящий из двух цилиндров, нижним концом опущен под уровень воды в резервуаре А и покоится на опорах С,расположенных на высоте В над уровнем свободной поверхности жидкости в резервуаре.
В технике часто встречаются сосуды, стенки которых воспринимают давление жидкостей, газов и сыпучих тел (паровые котлы, резервуары, рабочие камеры двигателей, цистерны и т. п.). Если сосуды имеют форму тел вращения и толщина стенок их незначительна, а нагрузка осесимметрична, то определение напряжений, возникающих в их стенках под нагрузкой, производится весьма просто.
В таких случаях без большой погрешности можно принять, что в стенках возникают только нормальные напряжения (растягивающие или сжимающие) и что эти напряжения распределяются равномерно по толщине стенки.
Расчеты, основанные на таких допущениях, хорошо подтверждаются опытами, если толщина стенки не превосходит примерно минимального радиуса кривизны стенки.
Вырежем из стенки сосуда элемент с размерами и .
Толщину стенки обозначим t (рис. 8.1). Радиусы кривизны поверхности сосуда в данном месте и Нагрузка на элемент - внутреннее давление , нормальное к поверхности элемента.
Заменим взаимодействие элемента с оставшейся частью сосуда внутренними силами, интенсивность которых равна и . Поскольку толщина стенок незначительна, как уже было отмечено, можно считать эти напряжения равномерно распределенными по толщине стенки.
Составим условие равновесия элемента, для чего спроецируем силы, действующие на элемент, на направление нормали пп
к поверхности элемента. Проекция нагрузки равна 
.
Проекция напряжения на направление нормали представится отрезком аb,
равным 
Проекция усилия, действующего на грани 1-4 (и 2-3),
равна 
. Аналогично, проекция усилия, действующего по грани 1-2 (и 4-3), равна 
.
Спроецировав все силы, приложенные к выделенному элементу, на направление нормали пп, получим
Ввиду малости размеров элемента можно принять
С учетом этого из уравнения равновесия получим
Учитывая, что d 
и
имеем
Сократив на 
и разделив на t
, получим
(8.1)
Эта формула называетсяформулой Лапласа. Рассмотрим расчет двух видов сосудов, часто встречающихся на практике: сферического и цилиндрического. При этом ограничимся случаями действия внутреннего газового давления.
| а) б) |
1. Сферический сосуд.
В этом случае 
и 
Из (8.1) следует 
откуда
(8.2)
Так как в данном случае имеет место плоское напряженное состояние, то для расчета на прочность необходимо применить ту или иную теорию прочности. Главные напряжения имеют следующие значения: По третьей гипотезе прочности; 
. Подставляя 
и 
, получаем
(8.3)
т. е. проверка прочности ведется, как в случае одноосного напряженного состояния.
По четвертой гипотезе прочности, 
. Так как в данном случае 
, то
(8.4)
т. е. то же условие, что и по третьей гипотезе прочности.
2. Цилиндрический сосуд.
В этом случае 
(радиус цилиндра) и 
(радиус кривизны образующей цилиндра).
Из уравнения Лапласа получаем 
откуда
(8.5)
Для определения напряжения рассечем сосуд плоскостью, перпендикулярной его оси, и рассмотрим условие равновесия одной из частей сосуда (рис. 47 б).
Проецируя на ось сосуда все силы, действующие на отсеченную часть, получаем
(8.6)
где 
-
равнодействующая сил давления газа на днище сосуда.
Таким образом, 
,
откуда
(8.7)
Заметим, что в силу тонкостенности кольца, представляющего собой сечение цилиндра, по которому действуют напряжения , площадь его подсчитана как произведение длины окружности на толщину стенки. Сравнивая и в цилиндрическом сосуде, видим, что