Растяжением – сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила N.

Прямые брусья, работающие на растяжение – сжатие, называются стержнями .

Продольной силой называется равнодействующая всех внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.

Продольная сила в любом напряженном сечении бруса определяется методом сечений: она равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось.

Если продольная сила по всей длине бруса не постоянна, то строят эпюру «N». Эпюра – это график изменения внутреннего силового фактора по длине бруса.

Правила построения эпюр продольных сил:

Разбиваем брус на участки, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы.

В пределах каждого участка применяют метод сечений и определяют продольную силу. При этом если внешняя сила растягивает оставленную часть стержня, т.е. направлена от сечения - продольная сила положительна; если внешняя сила сжимает оставленную часть стержня, т.е. направлена к сечению – продольная сила отрицательна.

Откладываем полученные значения и строим эпюру продольных сил. Если на участке не действует равномерно распределенная нагрузка, то эпюра ограничена прямой, параллельной нулевой линии.

Правильность построения эпюр продольных сил определяется следующим образом: в сечениях, где приложена внешняя сила, на эпюре есть «скачки», равные по величине приложенной силе.

Правила построения эпюр нормальных напряжений:

Разбиваем брус на участки, границами которых являются точки приложения внешних сил и сечения, где меняется площадь.

На каждом участке вычисляем нормальные напряжения по формуле



Строим эпюру нормальных напряжений, по которой определяем опасное сечение. При растяжении – сжатии опасным является сечение, в котором величина нормальных напряжений наибольшая.

При растяжении длина детали увеличивается, а сечение уменьшается; при сжатии – наоборот.

∆l = l – l 0 - абсолютное удлинение.

относительное удлинение или продольная деформация.

Закон Гука при растяжении – сжатии: 

Е – модуль упругости первого рода, характеризует жесткость материала.

Величина абсолютного удлинения вычисляется по формуле Гука:

Алгоритм решения задач на построение эпюр продольных сил и

нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения стержня

Разбить нулевую линию на участки для построения эпюры продольных сил. Границы участков провести в сечениях, где приложены внешние силы.

На каждом участке вычислить продольную силу методом сечений.

Отложить полученные значения и построить эпюру продольных сил. Правильность контролируется так: в сечениях, где к стержню приложены внешние силы, на эпюре продольных сил есть «скачки», численно равные этим силам.

Разбить нулевую линию на участки для построения эпюры нормальных напряжений. Границами участков являются сечения, в которых меняется площадь и приложены внешние силы.

На каждом участке вычислить нормальное напряжение по формуле

Отложить полученные значения и построить эпюру нормальных напряжений. По эпюре определить опасное сечение детали. Опасными являются сечения участка, на котором нормальные напряжения наибольшие.

Для каждого участка на эпюре нормальных напряжений рассчитать абсолютное удлинение по формуле Гука.

Определить суммарную величину абсолютного удлинения для всей детали в целом: найти алгебраическую сумму абсолютных удлинений всех участков. При этом если суммарная величина положительна – стержень удлинился, если отрицательна – стержень укоротился.

Анализ наиболее часто встречающихся ошибок.

Следует помнить, что на эпюре продольных сил границы участков проходят в точках приложения внешних сил, а на эпюре нормальных напряжений – в точках приложения внешних сил и в сечениях, где меняется площадь стержня.

Чтобы правильно подставить значения в формулу нормальных напряжений, нужно с участка эпюры напряжений, для которого ведется расчет, подняться на эпюру нормальных сил и посмотреть, каково значение продольной силы именно на этом участке. Затем подняться на чертеж детали и посмотреть, какова площадь сечения стержня именно на этом участке.

При расчете абсолютного удлинения в формулу Гука продольную силу следует подставлять с эпюры продольных сил, а величину площади сечения и длины данного участка – с чертежа детали.

В формулу нормальных напряжений и в формулу Гука следует подставлять значение продольной силы для данного участка.

Расчёт эпюр напряжения является базовой задачей такой дисциплины, как сопротивление материалов . В частности, только при помощи эпюры возможно определить максимально допустимую нагрузку на материал

Также, эпюра - схематический чертёж или график. В данном значении практически не употребляется, см. эпюр .

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Эпюра" в других словарях:

Рабочий чертеж, на к ром изображаемая конструкция показана возможно более простым и ясным способом с указанием только тех размеров, к рые нужны для производства работы. Напр., на Э. укладки стрелочного перевода остряки, крестовина и усовики… …

Сущ., кол во синонимов: 1 эпюр (2) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

эпюра - Графическое изображение закона изменения функции в зависимости от изменения аргумента Синонимы эпюр EN diagramepure DE Zustandslinie FR diagrammeépure …

Эпюра - – график изменения параметра по рассматриваемой оси элемента. [Полякова, Т.Ю. Автодорожные мосты: учебный англо русский и русско английский терминологический словарь минимум / Т.Ю. Полякова, Н.Г. Карасева, Д.В. Поляков. – М.: МАДИ, 2015. – … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

эпюра - ЭПЮР а, м., ЭПЮРА ы, ж épure f. 1. спец. Чертеж проекций фигуры, полученный путем совмещения плоскостей проекций. БАС 1. О нем <профессоре> говорили, будто он вымерял циркулем фигуру своей жены и по эпюрам скроил ей бальное платье, которое… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Эпюра, эпюры, эпюры, эпюр, эпюре, эпюрам, эпюру, эпюры, эпюрой, эпюрою, эпюрами, эпюре, эпюрах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов

- [ЭПЮР] графическое изображение закона изменения функции в зависимости от изменения аргумента (Болгарский язык; Български) диаграма; график (Чешский язык; Čeština) obrazec vnitřních sil (Немецкий язык; Deutsch) Zustandslinie (Венгерский язык;… … Строительный словарь

эпюра главных векториальных площадей - Нрк. единичная эпюра нормальных напряжений при стесненном кручении Эпюра секториальных площадей, заключенных между специально выбранными неподвижным и подвижным радиусами векторами. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная… … Справочник технического переводчика

Эпюра шпал количество шпал на 1 километр ж/д пути. Обычно 1840 шпал/км, усиленная эпюра шпал 2000 шпал/км. Усиленная эпюра шпал присутствует в кривых участках, на мостах, в тоннелях, при использовании Бесстыкового пути Для ул … Википедия

Схема расположения осей шпал на рельсовом звене в зависимости от длины рельсов и количества шпал на 1 км. По Э. у. ш. на шейке рельсов производится разметка для укладки шпал. Технический железнодорожный словарь. М.: Государственное транспортное… … Технический железнодорожный словарь

Книги

• Начертательная геометрия и инженерная графика (для технических направлений подготовки) (бак.) Учебн. , Георгиевский Олег Викторович. Рассмотрены различные способы преобразования эпюра, приводятся многочисленные примеры решения позиционных и метрических задач. Даются сведения о видах изделий иконструкторских документов,…
• Начертательная геометрия и инженерная графика (для технических направлений подготовки) (бакалавриат). Учебник , О. В. Георгиевский, В. И. Веселов, Г. И. Ничуговский. Рассмотрены различные способы преобразования эпюра, приводятся многочисленные примеры решения позиционных и метрических задач. Даются сведения о видах изделий иконструкторских документов,…

3. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ M , Q , N

3.1. Эпюра изгибающего момента M

Процедура построения ординат эпюры M

численное значение изгибающего момента в сечении.

2. Отложить найденное численное значение в виде ординаты перпендикулярно оси стержня со стороны растянутого волокна стержня .

Численное значение изгибающего момента в сечении равно численному значению алгебраической суммы моментов всех сил, действующих на стержневую систему с любой одной из сторон сечения , взятых относительно точки на оси сечения.

Как устанавливается растянутое волокно в сечении, продемонстрировано на примере консоли ломаного очертания при ее загружении тремя видами нагрузки (рис. 3.1). Ординаты соответствующих трех эпюр M построены на растянутой стороне стержней, образующих консоль.

Признаки правильного вида эпюры M

При указанном правиле построения ординат эпюры M эта эпюра имеет следующие свойства.

1. На участке прямого стержня, свободном от нагрузки, эпюра прямолинейна.

2. На участке распределенной нагрузки она очерчена кривой линией, выпуклой в сторону действия нагрузки. Когда нагрузка равномерно распределена, кривая является параболой второй степени.

3. В точке приложения сосредоточенной силы эпюра имеет излом, острие которого направлено в сторону действия силы.

4. В точке приложения сосредоточенного момента эпюра имеет скачок в ординатах, равный величине момента.

5. В сечении, находящемся на границе незагруженного участка стержня и участка, загруженного распределенной нагрузкой, кривая линия эпюры плавно (без излома) переходит в прямолинейную эпюру, которая является касательной

к криволинейному участку.

Эти свойства используют для контроля построенных эпюр M .

Правило знаков для ординат эпюр M

При построении ординат эпюры M со стороны растянутого волокна стержня вручную, знак ординаты не требовался. Однако при численном расчете на ПК, каждой ординате эпюры M присваивается знак. Используется знак эпюры M и при построении по ней эпюры Q .

В данном учебном пособии приводится правило знаков, принятое для ординат эпюр M в программе SCAD .

Если растянуто «нижнее» волокно стержня, то ордината откладывается от оси стержня «вниз» и ей присваивается знак «+ »

Если же растянуто «верхнее» волокно стержня, то ордината откладывается от оси стержня «вверх» и ей присваивается знак « – » (рис. 3.3).

«Нижним» волокном стержня в программе SCAD считается волокно стержневого конечного элемента (КЭ) типа «Стержень плоской рамы», находящееся со стороны отрицательных ординат оси Z1 местной системы осей координат (МСК), а «верхним» – со стороны положительных ординат оси Z1 (см. рис. 3.2, 3.3).

Примечание. При ручном подсчете алгебраической суммы моментов всех сил с одной стороны от сечения для определения изгибающего момента в сечении стержня, рекомендуется сразу ставить знаки слагаемых моментов в соответствии с этим правилом знаков. Тогда ордината изгибающего момента получится со своим знаком в соответствии с принятым правилом и может быть отложена от оси стержня по этому правилу.

Построение эпюры М на элементе стержня свободном от нагрузки

Из приведенных выше свойств эпюры M (признаков правильной эпюры)

известно, что е сли на конечном элементе стержня нет внешней нагрузки, то эпюра изгибающих моментов на нем будет прямолинейной. Для ее построения достаточно вычислить ординаты только в конечных сечениях такого элемента.

Примечание. В программе SCAD для получения ординат изгибающих моментов на КЭ загруженных распределенной нагрузкой «по умолчанию» может быть назначено вычисление для нескольких, например, трех сечений КЭ: в начале (н), в середине (с) и в конце (к) конечных элементов (начальное сечение «н» связано с началом оси X1 в МСК).

Тогда с целью сокращения выходных результатов для КЭ без нагрузки в их пределах

в разделе Назначения на инструментальной панели необходимо нажать кнопку «Назначение промежуточных сечений для расчета усилий». Откроется диалоговое окно «Вычисление усилий…..» (см. в программе SCAD справку к этому окну). В диалоговом окне на поле «количество сечений» вносится цифра 2. Далее надо закрыть окно и отметить конечные элементы на схеме стержневой системы, на которых ожидаются линейные эпюры M . Как это делается, показано в пособиях .

На рис. 3.2, 3.3 концевые сечения стержня обозначены узлами « н » и « к » МСК. После назначения для расчета усилий в отмеченных элементах только двух сечений, в программе SCAD в соответствующей таблице усилий будут выдаваться значения изгибающих моментов M н (M 1 ) и M к (M 2 ) только в узлах «н» (1) и «к» (2) (со своими

знаками в МСК).

При оцифровке ординат эпюры моментов, которая выполняется при нажатии кнопки

Фильтра отображения, в пределах каждого конечного элемента из указанных двух моментов (M 1 , M 2 ) приводится момент с максимальным значением.

Построение эпюры М на элементе стержня при действии по его длине равномерно распределенной нагрузки

Если по всей длине КЭ расположена равномерно распределенная нагрузка, то эпюра изгибающих моментов на нем будет иметь вид параболы с выпуклостью направленной в сторону действия нагрузки.

Примечание. В программе SCAD с помощью процедуры, которая только что была рассмотрена по назначению для вычисления изгибающих моментов только в двух сечениях КЭ, можно назначить вычисление моментов в ряде сечений между узлами « н » и « к » элемента в МСК.

Для приближенного построения параболы достаточно вычислить ординаты эпюры M в трех сечениях КЭ: в начале «н», в середине «с» и в конце «к». В результирующей таблице усилий программы SCAD эти сечения обозначены соответственно 1, 2, 3. В программе SCAD вычисление моментов в указанных сечениях может быть обеспечено по умолчанию. Однако, если по какой-то причине у расчетчика оказались известными только две ординаты эпюры M по концам элемента (M н и M к ), то можно легко вычислить

ординату M c в среднем сечении, применив принцип независимости действия сил.

Пример. Вырежем (по узлам «н» (1) и «к» (3) МСК) из стержневой системы элемент, загруженный равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 3.4,а ).

Рассмотрим его, как балку на двух опорах, под действием внутренних усилий по концам элемента и распределенной нагрузки (рис. 3.4,б ). Добавление указанных трех опорных связей не влияет на усилия в элементе, так как в вырезанном состоянии он находится в равновесии, поэтому в добавленных связях усилия (реакции) будут нулевыми.+ M c o .

Обе суммируемые ординаты в рассмотренном примере положительны, так как они расположены снизу от оси балки. На рис. 3.5 показан вариант, когда ордината

M c (лом) = 0.5(M н + M к ) отрицательна (ордината M c o = ql 2 / 8 при указанном направлении нагрузки q положительна). Здесь же приведен графоаналитический способ построения параболической эпюры по трем ее суммарным ординатам (M н , M с , M к ) и по трем

касательным к параболе в соответствующих концах ординат (отмечены крестиком).

Смысл этого графоаналитического способа будет понятен, если рассмотреть на рис. 3.4, г эпюру M (R ) треугольной формы, показанную штриховыми линиями. Эпюра

Возникающие в различных поперечных сечениях стержня, неодинаковы, закон их изменения по длине стержня представляется в виде графика N(z), называемого эпюрой продольных сил . Эпюра продольных сил необходима для оценки стержня и строится для того, чтобы найти опасное сечение (поперечное сечение, в котором продольная сила принимает наибольшее значение ).

Как строить эпюру продольных сил?

Для построении эпюры N используется . Продемонстрируем его применение на примере (рис. 2.1).

Определим продольную силу N, возникающую в намеченном нами поперечном сечении .

Разрежем стержень в этом месте и мысленно отбросим нижнюю его часть (рис. 2.1, а). Далее мы должны заменить действие отброшенной части на верхнюю часть стержня внутренней продольной силой N.

Для удобства вычисления ее значения закроем рассматриваемую нами верхнюю часть стержня листком бумаги. Напомним, что N, возникающее в поперечном сечении, можно определить как алгебраическую сумму всех продольных сил, действующих на отброшенную часть стержня, то есть на ту часть стержня, которую мы видим.

При этом применяем следующее : силы, вызывающие растяжение оставленной части стержня (закрытой нами листком бумаги) входят в упомянутую алгебраическую сумму со знаком «плюс», а силы, вызывающие сжатие – со знаком «минус».

Итак, для определения продольной силы N в намеченном нами поперечном сечении необходимо просто сложить все внешние силы, которые мы видим. Так как сила кН растягивает верхнюю часть, а сила кН ее сжимает, то кН.

Знак «минус» означает, что в этом сечении стержень испытывает сжатие.

Можно найти опорную реакцию R (рис. 2.1, б) и составить уравнение равновесия для всего стержня, чтобы проверить результат.

При расчете на прочность необходимо знать закон изменения внутренних усилий в поперечных сечениях балки по ее длине, возникающих от действующей на балку нагрузки. Этот закон можно выразить в виде аналитических зависимостей и изобразить с помощью специальных графиков, называемых эпюрами.

Эпюрой изгибающих моментов (эпюрой ) называется график, изображающий закон изменения величин этих моментов по длине балки. Аналогично эпюрой поперечных сил (эпюрой Q) или эпюрой продольных сил (эпюрой N) называется график, изображающий изменение поперечных или продольных сил по длине балки.

Каждая ордината эпюры М (или Q, или N) представляет собой величину изгибающего момента (или поперечной силы, или продольной силы) в соответствующем поперечном сечении балки.

Разберем на конкретных примерах построение эпюр для балок, находящихся под действием системы сил, расположенных в одной плоскости (параллельной плоскости чертежа).

Построим эпюры Q и М для консольной балки, заделанной правым концом, изображенной на рис. 10.7, а.

Назовем участком балки каждую ее часть, в пределах которой законы изменения поперечной силы и изгибающего момента остаются постоянными. Границами участков являются поперечные сечения балки, в которых к ней приложены сосредоточенные нагрузки (в том числе опорные реакции) или в которых начинается либо заканчивается распределенная нагрузка, или в которых интенсивность этой нагрузки начинает изменяться по новому закону.

Рассматриваемая балка имеет четыре участка I, II, III и IV, показанных на рис. 10.7, а.

Составим [на основании формул (3.7) и (2.7)] выражения поперечной силы и изгибающего момента в поперечном сечении балки на расстоянии х от ее левого конца.

Участок :

Здесь -равнодействующая равномерно распределенной нагрузки в пределах отрезка длиной участка I. Она приложена посредине этого отрезка, а потому ее момент относительно рассматриваемого сечения равен Знак поперечной силы отрицателен потому, что проекция равнодействующей направлена вниз; знак изгибающего момента отрицателен потому, что момент действует против часовой стрелки.

В окончательные выражения значение подставляется в метрах, так как интенсивность q выражена в

Полученные выражения Q и действительны в пределах участка I, т. е. при расстоянии имеющем значения в пределах от 0 до

Зависимость от линейная, а потому для построения эпюры Q на участке достаточно определить величины при двух значениях

при (в начале участка I)

при (в конце участка I)

Зависимость М от не линейная, а квадратичная. Для построения эпюры М на участке вычисляем величины при трех значениях

По полученным значениям на рис. 10.7, б, в, построены эпюры Q и М для участка балки (прямая и кривая )

Ординаты эпюр, соответствующие положительным значениям внутренних усилий, откладываем вверх от осей этих эпюр, а отрицательным - вниз (оси эпюр параллельны оси балки). При таком построении ординаты эпюр М получаются расположенными со стороны сжатых волокон балки.

где расстояние выражено в метрах.

При (в начале участка II)

при (в конце участка )

По полученным значениям на рис. 10.7,б,в построены эпюры Q и М для участка II балки (прямые к и Участок III:

При (в начале участка III)

при (в конце участка III)

По полученным значениям на рис. 10.7, б,в построены эпюры Q и М для III участка балки (прямые и с). Участок IV:

По полученным значениям на рис. 10.7,б,в построены эпюры Q и М для участка IV балки (прямые ).

Изгибающие моменты и поперечные силы в поперечных сечениях можно определить и через правые внешние силы, используя зависимости Но для этого требуется найти значения опорных реакций в заделке В балки.

Выделим теперь из балки часть CD длиной (рис. 10.7, а) и приложим к ней все действующие на нее внешние силы (рис. 10.7, г). К ним относятся сила и момент а также силы и моменты, приложенные к рассматриваемой части в поперечных сечениях С и эти силы и моменты равны поперечным силам и изгибающим моментам в сечениях С и D и представляют собой воздействие частей АС и DB на часть

Поперечная сила в сечении С балки, как это видно из эпюры Q (рис. 10.7,б), равна и отрицательна; в соответствии с принятым правилом знаков она стремится вращать часть CD балки против часовой стрелки, относительно некоторой точки Е балки (рис. 10.7, г) и, следовательно, должна быть направлена вниз. Поперечная сила QD в сечении D положительна, равна (рис. 10.7,б) и, следовательно, стремится вращать часть CD балки по часовой стрелке относительно точки?; поэтому она должна быть направлена вниз (рис. 10.7, г).

Изгибающие моменты и MD в сечениях С и D равны соответственно т. е. они отрицательны (рис. 10.7, в); следовательно, оба они вызывают сжатие нижних и растяжение верхних волокон балки. В соответствии с этим момент направлен против часовой стрелки, а момент часовой стрелке.

Убедимся в том, что выделенная часть CD балки находится в равновесии. Для этого составим три уравнения равновесия всех действующих на нее сил (см. рис. 10.7, г):

Равенство нулю значений и свидетельствует о равновесии части CD балки.

На рис. 10.7, (3 показаны внутренние усилия, действующие в сечении В балки, совпадающем с заделанным ее концом. Их величины и направления установлены по эпюрам Q и М (рис. 10.7, б,в). Они представляют собой реакции защемления В балки.

Из эпюры Q (рис. 10.7, б) видно, что в сечении F балки, в котором к ней приложена сосредоточенная сила значение поперечной силы изменяется скачкообразно от до т. е. на величину Р.

Это является следствием того, что в выражение составляемое для сечения, расположенного на расстоянии левее силы Р, эта сила не входит; в выражение же составляемое для сечения, расположенного на расстоянии правее силы Р, она входит.

Итак, в сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная к оси балки (в том числе и опорная реакция в виде сосредоточенной силы), значение поперечной силы Q изменяется скачкообразно на величину приложенной силы. Когда сосредоточенная внешняя сила направлена вверх, на эпюре Q (при перемещении слева направо) имеется скачок вверх, а когда сила направлена вниз - скачок вниз.

Аналогично в сечении, в котором к балке приложен сосредоточенный внешний момент (в том числе и опорная реакция в виде сосредоточенного момента), значение изгибающего момента М изменяется скачкообразно на величину приложенного момента. Когда сосредоточенный внешний момент действует по часовой стрелке, на эпюре М (при перемещении слева направо) имеется скачок вверх; а когда момент действует против часовой стрелки - скачок вниз. Так, например, в сечении G балки, в котором приложен к ней сосредоточенный момент (рис. 10.7, а), на эпюре М (рис. 10.7, в) имеется скачок вверх (при перемещении слева направо), равный а в сечении В-скачок вниз, равный (т. е. равный реакции опоры В в виде сосредоточенного момента, направленного против часовой стрелки).

Построим теперь эпюры Q и М для простой балки на двух опорах, изображенной на рис. 11.7, а. Балка состоит из двух участков.

Определим вертикальные опорные реакции RA и RB балки. В опоре А может возникать и горизонтальная реакция, однако при заданной вертикальной нагрузке она равна нулю. Для определения реакций и RB составим уравнения равновесия в виде сумм моментов всех сил относительно точек А и В.