Multiplikatívne cyklické podskupiny a skupiny. Multiplikatívna skupina zvyškového kruhu Tu je niekoľko podskupín skupiny Z6 vytvorených rôznymi prvkami:. Podobný príklad pre multiplikatívnu skupinu: tu Z toho, čo bolo povedané

Telesá sú skupina, prvky roja sú všetky nenulové prvky daného telesa a operácia sa zhoduje s operáciou násobenia v tele. M. g. poľa je abelovská skupina. O. A. Ivanova... Matematická encyklopédia

Redukovaný systém zvyškov modulo m je množina všetkých čísel úplného systému zvyškov modulo m, ktoré sú prime k m. Redukovaný systém zvyškov modulo m pozostáva z φ(m) čísel, kde φ(·) je Eulerova funkcia. Ako redukovaný systém zrážok... ... Wikipedia

Teória skupín ... Wikipedia

Skupina v abstraktnej algebre je neprázdna množina s definovanou binárnou operáciou, ktorá spĺňa nižšie uvedené axiómy. Odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá skupinami, sa nazýva teória skupín. Známe reálne čísla sú obdarené... ... Wikipedia

Skupina automorfizmov určitej seskvilineárnej formy f na pravom K module E, kde K je kruh; v tomto prípade f a E (a niekedy aj K) vyhovujú dodatočné podmienky. Neexistuje presná definícia K. g. Predpokladá sa, že f je buď nulové alebo nedegenerované... ... Matematická encyklopédia

Skupina všetkých invertibilných matíc stupňa nad asociatívnym kruhom K s identitou; všeobecne akceptovaný zápis: GLn(K).alebo GL(n, K). P.l. g GL(n, K) možno definovať aj ako skupinu automorfizmov АutK(V) voľného pravého K modulu Vс… … Matematická encyklopédia

Pre všeobecný popis teória skupín, pozri Group (matematika) a Group theory. Kurzíva označuje odkaz na tento slovník. # A B C D E E F G H I J J K L M N O P R S T U ... Wikipedia

4) Multiplikatívna skupina zvyškov podľa
modul č.
O niečo ťažšie určiť
multiplikatívna skupina zvyškov podľa
modul č. Prvky tejto skupiny tvoria
množina Z*n, pozostávajúca z prvkov Zn,
coprime do n. Koncept vzájomného
jednoduchosť má nasledujúci význam:
ak k je celé číslo, potom gcd(a,n) = 1
je ekvivalentné gcd(a+kn,n) =1.

Veta 7.

systém
je konečná abelovská skupina.

Dôkaz.

Skontrolujte, či má ktorýkoľvek prvok
inverzný v zmysle skupinovej operácie.
(Neutrálnym prvkom je trieda C1).
Ak chcete nájsť inverznú hodnotu prvku a, zvážte
trojitý (d,x,y) vytvorený týmto postupom
Extended-Euclid(a,n). Pretože
, čísla a a n
sú relatívne prvočísla a d= gcd(a,b) = 1, tak
ax + ny = 1 a
, teda,
prvok je opakom
v skupine
.

Jedinečnosť opaku sa dá dokázať
(ako pre každú skupinu) takto:
ak x a x' sú inverzné k a, potom
,
a preusporiadanie zátvoriek podľa asociatívnosti,
dostaneme
, atď.

V ďalšom budeme pre jednoduchosť označovať sčítanie a násobenie modulo obvyklými znamienkami + a ∙ (niekedy vynecháme znamienko násobenia) a pridáme

V nasledujúcom budeme pre jednoduchosť označovať
sčítanie a násobenie modulo obvyklé
znamienka + a ∙ (niekedy s vynechaním znamienka násobenia), a
aditívne a multiplikatívne skupiny
zvyšky modulo n budú označené Zn a Z*n
(nehovoriac o skupinovej prevádzke). Element,
inverzný (vo vzťahu k operácii násobenia)
do a, budeme označovať a-1mod n. Ako zvyčajne,
kvocient a/b v Z*n je definovaný ako
ab-1(mod n). Napríklad v
máme
(mod 15),
pretože
, kde
.

5) Počet invertibilných prvkov vo zvyškovom kruhu.

Počet obojstranných prvkov v prstenci
zrážky, t.j. počet prvkov v
,
označené
. Funkcia sa volá
- Eulerova funkcia.

Pre Eulerovu funkciu môžeme dokázať nasledujúci vzorec: (3) kde p1,....,ps je zoznam všetkých prvočíselných deliteľov čísla n. Tento vzorec možno vysvetliť takto:

Pre funkciu môžeme dokázať nasledujúci vzorec
Euler:
(3)
kde p1,….,ps – zoznam všetkých prvočíselných deliteľov
čísla n. Tento vzorec možno vysvetliť takto:
náhodné číslo t je rovnaké ako n, ak
nie je deliteľné p1 (pravdepodobnosť toho je
(1-1/p1)), nedeliteľné p2 (pravdepodobnosť (1-1/p2))
atď., a tieto udalosti sú nezávislé.

Napríklad,
,
od prvotriednych deliteľov čísla 45
sú čísla 3 a 5. Pre prvočíslo
máme
(4)
pretože všetky čísla 1,2,…, p -1 sú spojené s p.
Ak n je zložené číslo, potom

6) Podskupiny.

Nechaj
je skupina a
.
Ak
je teda tiež skupina
nazývaná podskupina skupiny
. Napríklad,
párne čísla tvoria podskupinu celých čísel
(s operáciou sčítania).

10. Ak je podgrupa konečnej grupy, potom delí.

Veta 8 (Lagrangeova).
Ak
je podgrupa konečnej grupy
To
rozdeľuje.
,

11. Dôkaz.

Dá sa nájsť v učebniciach algebry (skupina S
sa delí na disjunktné triedy
milý
, z ktorých každá obsahuje
prvky).
Podskupina S' skupiny S, ktorá sa nezhoduje s
celá skupina sa nazýva vlastná
podskupina.

12. Dôsledok 8.1.

Ak S‘ je vlastnou podgrupou konečníka
skupina S teda
.
Toto je (zrejmý) dôsledok Lagrangeovej vety
používané v pravdepodobnostnej analýze
Schiller-Rabinov algoritmus
(kontrola primárnosti).

13. 7) Podskupina vytvorená prvkom skupiny.

Nech a je nejaký prvok konečného
skupina S. Zvážte postupnosť
prvkov
Analogicky so stupňami ( skupinová prevádzka
zodpovedá násobeniu) budeme písať
atď.
Je ľahké to vidieť
,
najmä
. Podobný
výrok možno formulovať aj o
"záporné stupne"
najmä
.

14. Ak je grupa S konečná, postupnosť bude periodická (ďalší prvok je určený predchádzajúcim prvkom, preto sa raz opakuje,

Ak je grupa S konečná, potom
podsekvencia
bude periodické (ďalší prvok
je určený predchádzajúcim, takže raz
opakované, prvky sa budú opakovať podľa
cyklus). Takže postupnosť
vyzerá ako
(potom sa všetko opakuje) a obsahuje t
rôznych prvkov, kde t je najmenšie
kladné číslo pre ktoré
.
Toto číslo sa nazýva poradie prvku a
označuje sa ord(a).

15. Uvedené prvky t tvoria podskupinu, pretože skupinová operácia zodpovedá pridávaniu „exponentov“. Táto podskupina sa nazýva

Uvedené t prvky tvoria
podskupina, pretože skupinová prevádzka zodpovedá
sčítanie exponentov. Táto podskupina
sa nazýva generované prvkom a a
sa označuje alebo ak chceme výslovne naznačiť
skupinová prevádzka, (
). Prvok a
nazývaný generátor podskupiny
; Hovoria,
že rodí túto podskupinu.
Napríklad prvok a=2 skupiny Z6
generuje podskupinu pozostávajúcu z prvkov
0,2,4.

16. Tu je niekoľko podskupín skupiny Z6 generovaných rôznymi prvkami: . Podobný príklad pre multiplikatívnu skupinu: tu Z toho, čo bolo povedané

Tu sú niektoré podskupiny skupiny Z6.
generované rôznymi prvkami:
. Podobný
príklad pre multiplikatívnu skupinu
:
Tu
Veta 9 vyplýva z vyššie uvedeného.

17. Nech je konečná grupa. Ak, potom sa počet prvkov v podskupine vygenerovanej a zhoduje s poradím a (t.j.).

Veta 9.
Nechaj
- finálová skupina. Ak
, potom číslo
prvkov v podskupine vytvorenej a sa zhoduje s
objednávka a (t.j.
).

18. Dôsledok 9.1.

Následná sekvencia
má obdobie
t=ord(a);
inými slovami
vtedy a len vtedy,
Kedy
.
Frekvencia vám umožňuje pokračovať
postupnosť v oboch smeroch, definovanie
Ako
pre akékoľvek celé číslo i, vrátane
negatívne.

19. Dôsledok 9.2.

Vo finálovej skupine
s jednotkou e pre každé
platí rovnosť
.
Dôkaz. Podľa Lagrangeovej vety ord(a)
rozdeľuje kde
, Kde
, atď.

20. 8) Riešenie lineárnych diofantických rovníc.

Nás budú zaujímať celé čísla
riešenia rovnice
(5)
(tu a, b a n sú celé čísla; takéto rovnice
sa nazývajú "lineárne diofantíny"
rovnice"). Je jasné, že tu je jediné dôležité
zvyšok po delení x n, takže riešenie (5)
Je prirodzené nepomenovať celé číslo, ale prvok
skupina Zn, (trieda čísel dáva to isté
zvyšok pri delení n). Teda je to možné
formulujte problém takto: existujú prvky
,
hľadáme všetko
, pre ktoré
.

21. Pripomeňme, že pomocou označuje podgrupu generovanú prvkom a (v tomto prípade podgrupu grupy Zn). Podľa definície teda Eqs.

Pripomeňme si to prostredníctvom
označené
podskupina vygenerovaná prvkom a (v tomto
prípade podskupina skupiny Zn). A-priorstvo
, takže rovnica (5)
má aspoň jedno riešenie vtedy a len
potom, keď
. Koľko prvkov je tam
?
Podľa Lagrangeovej vety (T8) toto číslo je
deliteľ n. V Zn je skupinová prevádzka
dodatok, pretože Zn je aditívna skupina, tzv
.

22. Nech je rovnica riešiteľná a je jej riešením. Potom rovnica má d = gcd(a,n) riešení v Zn, dané vzorcom, kde i = 0,1,2,..., n - 1.

Veta 10.
Nechajte rovnicu
riešiteľný a
je jeho rozhodnutie. Potom má rovnica
d = GCD(a,n) roztoky v Zn dané vzorcom
, kde i = 0,1,2,..., n - 1.

23. Dôkaz.

Počnúc a pohybujúcich sa v krokoch n/d, my
urobme d krokov, než uzavrieme kruh, pretože
. Všetky prejdené čísla budú
riešenia rovnice
, odkedy
zvýšenie x o n/d súčin ah
zvyšuje o n(a/d), t.j. násobkom n. Takže
Uviedli sme teda všetky d riešenia.
a = b
a(+n/d)=a +an/d=a +na/d=a +kn≡a
atď.

24. Nech n > 1. Ak GCD(a, n) = 1, potom rovnica má jednoznačné riešenie (v Zn). Zvlášť dôležitý je prípad b=1 – v tomto prípade nájdeme inverzný prvok n k x

Dôsledok 10.1
Nech n > 1. Ak gcd(a, n) = 1, potom rovnica
má unikátne riešenie (v Zn).
Zvlášť dôležitý je prípad b=1 – v tomto prípade my
nájdeme prvok inverzný k x modulo n, t.j.
inverzný prvok v skupine.

25. Dôsledok 10.2

Nech n > 1. Ak gcd(a, n) = 1, potom
rovnica ax ≡ 1 (mod n)
(6)
má unikátne riešenie v Zn.
Pre gcd(a, n) > 1 táto rovnica riešení nie je
Má.
Tak sme sa naučili počítať
inverzný prvok v skupine v O(log n)
aritmetické operácie.

26. 9) Čínska veta o zvyšku.

Okolo roku 100 pred Kr. Čínsky matematik Song
Tsu vyriešil nasledujúci problém: nájdite číslo, ktoré dáva
Pri delení 3, 5 a 7 sú zvyšky 2, 3 a 2
respektíve ( všeobecná forma riešenia 23+105k
pre celé číslo k). Preto vyhlásenie o
ekvivalencie systému porovnávania podľa vzáj
jednoduché moduly a porovnanie modulov
dielo sa nazýva „Čínska veta o
zvyšky“.

27. Nech je nejaké číslo n reprezentované ako súčin párových prvočísel. Tvrdí to čínska veta o zvyšku

Nech je nejaké číslo n reprezentované v tvare
produkty párových prvočíselných čísel
. Čínska veta o zvyšku
uvádza, že zvyšok kruhu Zn je štruktúrovaný ako
produkt zvyškových kruhov
(s komponentovým sčítaním a násobením).
Táto korešpondencia je užitočná aj z hľadiska algoritmu
z hľadiska, pretože to môže byť jednoduchšie
prevádzky vo všetkých súboroch Zni než
priamo do Zn.

28. 10) Stupne prvku.

Zvážte v multiplikačnej skupine
zrážky
postupnosť stupňov
nejaký prvok a:
(7)
Začíname počítať od nuly, veriť
;
i-tý člen postupnosti mocnin čísla 3 by
modul 7 má tvar:
a pre mocniny 2 modulo 7 máme:

29. 11) Veta 11 (Euler).

Ak n>1 je celé číslo, potom
pre každého
, Kde
(8)
- Eulerova funkcia phi.
Žiadny dôkaz.
Pre jednoduché n sa veta zmení na „malú
Fermatova veta."

30. 12) Veta 12 (Fermatova malá veta).

Ak p je prvočíslo, potom
(9)
pre každého
.
Dôkaz. Keďže p je prvočíslo,
= p-1, h.t.d.

31. Dôsledok 12.1. Nech p je prvočíslo. Dôsledok 12.2. Nech je p prvočíslo, potom platí Fermatova veta aj pre a=0.

32. 13) Veta 13 (Posilnenie Eulerovej vety).

Nech n=pq, kde p a q sú rôzne prvočísla.
Potom pre ľubovoľné celé číslo a a pre ľubovoľné
prirodzené číslo k identitu drží
.

33. atď.

Dôkaz.
atď.

34. 14) Výpočet mocnín opakovaným kvadratúrou.

Umocňovanie modulo hrá dôležitú úlohu
úlohu pri kontrole prvoradých čísel, ako aj v
kryptosystém RSA. Rovnako ako bežné čísla,
opakované násobenie nie je najrýchlejšie
spôsob; Je lepšie použiť algoritmus
prerovnanie.

35. Chceme vypočítať ab mod n, kde a je zvyšok modulo n a b je nezáporné celé číslo, ktoré má v binárnom zápise tvar (bk,bk-1,... ,b1,b0) (číslo z

Chceme vypočítať ab mod n, kde
a – zvyšok modulo n, a b – celé číslo
nezáporné číslo, ktoré má binárne číslo
záznamy formulára (bk,bk-1,... ,b1,b0) (počet znakov
považujeme za rovné k + 1; seniorské hodnosti ako
zvyčajne vľavo). Vypočítame ac mod n pre
nejaké c, ktoré sa zvyšuje a na konci
nakoniec sa rovná b.

36. Keď sa c vynásobí 2, číslo ac sa umocní na druhú, keď sa c zvýši o 1, číslo ac sa vynásobí a. Pri každom kroku sa binárny záznam posunie

Zostáva 1, po
čo, ak je to potrebné (bi=1), posledná číslica
binárny zápis sa mení z 0 na 1. (Všimnite si, že
že premenná c sa v skutočnosti nepoužíva a
možno vynechať.)

37. Odhadnime operačný čas procedúry. Ak tri čísla, ktoré sú jeho počiatočnými údajmi, nemajú viac ako β bitov, potom počet aritmetických operácií ec

Odhadnime prevádzkový čas postupu. Ak
tri čísla, ktoré sú jeho iniciálami
dáta nemajú viac ako β bitov, potom číslo
aritmetické operácie je O(β) a číslo
bit - O (p 3).
Príklad (a = 7, b = 560, n = 561) je uvedený v
kreslenie.
Umocnenie je posun o 1 doľava
mocniny čísla.

38.

i
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
bi
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
c
1
2
4
8
17
35
70
140
280
560
d
7
49
157
526
160
241
298
166
67
1
Ryža. Práca na postupe erekcie
stupeň modulo n
s a = 7, b = 560 = (1000110000) an = 561.
Zobrazené sú hodnoty premenných po
ďalšie vykonanie tela cyklu for.
Procedúra vráti odpoveď 1.

Modulo m, ktorý je označený $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash times)$ alebo $U(\backslash mathbb(Z)\_m)$ .

Ak m jednoduché, potom, ako je uvedené vyššie, prvky 1, 2, ..., m-1 v cene $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash times)$. V tomto prípade $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash times)$ je pole.

Záznamové formuláre

Modulo zvyškový krúžok n označovať $\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)$ alebo $\backslash mathbb(Z)\_n$. Jeho multiplikatívna skupina, ako vo všeobecnom prípade skupín invertibilných prvkov kruhov, je označená $(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))^*,$ $(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))^\backslash krát,$ $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)),$ $E(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)),$ $\backslash mathbb(Z)\_n^(\backslash times),$ $U(\backslash mathbb(Z)\_n)$.

Najjednoduchší prípad

Pochopiť štruktúru skupiny $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$, môžeme uvažovať o špeciálnom prípade $n=p^a$, Kde $p$- prvočíslo a zovšeobecniť ho. Uvažujme o najjednoduchšom prípade, kedy $a=1$, t.j. $n=p$.

Veta: $U(\backslash mathbb(Z)/p\backslash mathbb(Z))$- cyklická skupina.

Príklad : Zvážte skupinu $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$

$U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$= (1,2,4,5,7,8) Generátorom skupiny je číslo 2. $2^1\; \backslash ekviv\; 2\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^2\; \backslash ekviv\; 4\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^3\; \backslash ekviv\; 8\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^4\; \backslash ekviv\; 7\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^5\; \backslash ekviv\; 5\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^6\; \backslash ekviv\; 1\backslash \; \backslash pmod\; 9$ Ako vidíme, akýkoľvek prvok skupiny $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$ môžu byť prezentované vo forme $2^l$, Kde . Teda skupina $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$- cyklický.

Všeobecný prípad

Na zváženie všeobecného prípadu je potrebné definovať primitívny koreň. Primitívny koreňový modulo prime $p$ je číslo, ktoré spolu so svojou triedou zvyškov vytvára skupinu $U(\backslash mathbb(Z)/p\backslash mathbb(Z))$.

Príklady: 2 11 ; 8 - primitívne koreňové modulo 11 ; 3 nie je primitívny koreňový modul 11 .

V prípade celého modulu $n$ definícia je rovnaká.

Štruktúra grupy je určená nasledujúcou vetou: Ak p je nepárne prvočíslo a l je kladné celé číslo, potom existujú primitívne korene modulo $p^(l)$, teda $U(\backslash mathbb(Z)/p^(l)\backslash mathbb(Z))$- cyklická skupina.

Podskupina Svedkov jednoduchosti

Nechaj $m$- nepárne číslo väčšie ako 1. Číslo $m-1$ jasne prezentované vo formulári $m-1\; =\; 2^s\; \backslash cdot\; t$, Kde $t$ zvláštny. Celé číslo $a$, , volal svedčiť o jednoduchostičísla $m$, ak je splnená jedna z podmienok:

• $a^t\backslash ekviv\; 1\backslash pmod\; m$

• existuje celé číslo $k$,

Ak číslo $m$- kompozit, existuje podskupina multiplikatívnej skupiny zvyškového kruhu, nazývaná podskupina svedkov prvotiny. Jeho prvky povýšené na silu $m-1$, zhodovať sa $1$ modulo $m$.

Príklad : $m=9$. Jedzte $6$ zvyšky sú vzájomne prvočíslo s $9$, Toto $1,2,4,5,7$ A $8$. $8$ ekvivalent $-1$ modulo $9$, Prostriedky $8^\{8\}$ ekvivalent $1$ modulo $9$. znamená, $1$ A $8$- svedkovia prvoradosti čísla $9$. IN v tomto prípade(1, 8) - podskupina svedkov jednoduchosti.

Vlastnosti

Skupinový vystavovateľ

Generačná súprava

$U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$ je cyklická skupina vtedy a len vtedy $\backslash varphi(n)=\backslash lambda(n).$ V prípade cyklickej skupiny sa generátor nazýva primitívny koreň.

Príklad

Znížený systém modulových zrážok $10$ zahŕňa $4$ odvodové triedy: $\_\{10\},\; \_\{10\},\; \_\{10\},\; \_\{10\}$. Vzhľadom na násobenie definované pre triedy zvyškov tvoria skupinu a $\_\{10\}$ A $\_\{10\}$ sú vzájomne inverzné (tj $\_(10)(\backslash cdot)\_(10)\; =\; \_(10)$), A $\_\{10\}$ A $\_\{10\}$ sú k sebe inverzné.

Štruktúra skupiny

Záznam $C\_n$"cyklická skupina rádu n".

Štruktúra skupiny $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$

$n\backslash ;$	$U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$	$\backslash varphi(n)$	$\backslash lambda(n)\backslash ;$	generátor		$n\backslash ;$	$U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$	$\backslash varphi(n)$	$\backslash lambda(n)\backslash ;$	generátor
2	C 1	1	1	1		33	C2 x C 10	20	10	10, 2
3	C 2	2	2	2		34	C 16	16	16	3
4	C 2	2	2	3		35	C2 x C 12	24	12	6, 2
5	C 4	4	4	2		36	C2 x C6	12	6	19, 5
6	C 2	2	2	5		37	C 36	36	36	2
7	C 6	6	6	3		38	C 18	18	18	3
8	C2 x C2	4	2	7, 3		39	C2 x C 12	24	12	38, 2
9	C 6	6	6	2		40	C2 x C2 x C4	16	4	39, 11, 3
10	C 4	4	4	3		41	C 40	40	40	6
11	C 10	10	10	2		42	C2 x C6	12	6	13, 5
12	C2 x C2	4	2	5, 7		43	C 42	42	42	3
13	C 12	12	12	2		44	C2 x C 10	20	10	43, 3
14	C 6	6	6	3		45	C2 x C 12	24	12	44, 2
15	C2 x C4	8	4	14, 2		46	C 22	22	22	5
16	C2 x C4	8	4	15, 3		47	C 46	46	46	5
17	C 16	16	16	3		48	C2 x C2 x C4	16	4	47, 7, 5
18	C 6	6	6	5		49	C 42	42	42	3
19	C 18	18	18	2		50	C 20	20	20	3
20	C2 x C4	8	4	19, 3		51	C2 x C 16	32	16	50, 5
21	C2 x C6	12	6	20, 2		52	C2 x C 12	24	12	51, 7
22	C 10	10	10	7		53	C 52	52	52	2
23	C 22	22	22	5		54	C 18	18	18	5
24	C2 x C2 x C2	8	2	5, 7, 13		55	C2 x C20	40	20	21, 2
25	C 20	20	20	2		56	C2 x C2 x C6	24	6	13, 29, 3
26	C 12	12	12	7		57	C2 x C 18	36	18	20, 2
27	C 18	18	18	2		58	C 28	28	28	3
28	C2 x C6	12	6	13, 3		59	C 58	58	58	2
29	C 28	28	28	2		60	C2 x C2 x C4	16	4	11, 19, 7
30	C2 x C4	8	4	11, 7		61	C 60	60	60	2
31	C 30	30	30	3		62	C 30	30	30	3
32	C2 x C8	16	8	31, 3		63	C6 x C6	36	6	2, 5

Aplikácia

Príbeh

K štúdiu štruktúry multiplikatívnej skupiny zvyškového kruhu prispeli Artin, Bilharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Fermat, Hooley, Euler. Lagrange dokázal lemu, že ak $f(x)\; \backslash in\; k[x]$, a k je pole, potom f má najviac n rôznych koreňov, kde n je stupeň f. Dokázal tiež dôležitý dôsledok tejto lemy, ktorý spočíva v komparácii $x^(p-1)-1$ ≡ $(x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p)$. Euler dokázal Fermatovu malú vetu. Waring sformuloval Wilsonovu vetu a Lagrange to dokázal. Euler navrhol existenciu primitívnych koreňov modulo prvočíslo. Gauss to dokázal. Artin predložil svoju hypotézu o existencii a kvantifikácii prvočísel, modulo, pričom dané celé číslo je primitívny koreň. Brouwer prispel k problému existencie množín po sebe nasledujúcich celých čísel, z ktorých každé je k-tou mocninou mod p. Bilharz dokázal analógiu Artinovej domnienky. Hooley dokázal Artinovu domnienku za predpokladu platnosti rozšírenej Riemannovej hypotézy v algebraických číselných poliach.

Napíšte recenziu na článok "Multiplikatívna skupina zvyškového kruhu"

Poznámky

Literatúra

• Ireland K., Rosen M. Klasický úvod do modernej teórie čísel. - M.: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Základy kryptografie. - Moskva: „Helios ARV“, 2002.
• Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Teoretická kryptografia. - Petrohrad: NPO „Professional“, 2004.

Odkazy

• Bukhshtab A.A. Teória čísel. - M.: Školstvo, 1966.
• Weisstein, Eric W.(anglicky) na webovej stránke Wolfram MathWorld.

Úryvok charakterizujúci multiplikatívnu skupinu zvyškového kruhu

- Mám novinky. Nikto medzi väzňami, nikto medzi zabitými. Kutuzov píše," kričal prenikavo, akoby chcel princeznú týmto výkrikom odohnať, "zabili ho!"
Princezná nespadla, neomdlela. Bola už bledá, ale keď počula tieto slová, jej tvár sa zmenila a v jej žiarivých, krásnych očiach sa niečo zalesklo. Akoby sa radosť, najvyššia radosť, nezávislá od smútkov a radostí tohto sveta, šírila ponad intenzívny smútok, ktorý v nej bol. Zabudla na všetok strach z otca, podišla k nemu, vzala ho za ruku, pritiahla si ho k sebe a objala jeho suchý, šľachovitý krk.
"Mon pere," povedala. "Neodvracaj sa odo mňa, budeme plakať spolu."
- Šmejdi, eštebáci! – skríkol starec a odtiahol tvár od nej. - Zničte armádu, zničte ľudí! Prečo? Choď, choď, povedz Lise. “Princezná bezvládne klesla na stoličku vedľa svojho otca a začala plakať. Teraz videla svojho brata v tej chvíli, keď sa s ňou a Lisou lúčil s jeho nežným a zároveň arogantným pohľadom. V tej chvíli ho videla, ako si nežne a posmešne nasadil ikonu na seba. „Veril? Činil pokánie zo svojej nevery? Je tam teraz? Je to tam, v príbytku večného pokoja a blaženosti?" Myslela si.
- Mon pere, [otec,] povedz mi, ako to bolo? – spýtala sa cez slzy.
- Choď, choď, zabitý v bitke, v ktorej nariadili zabiť najlepších ruských ľudí a ruskú slávu. Choď, princezná Marya. Choď a povedz Lise. Prídem.
Keď sa princezná Marya vrátila od svojho otca, malá princezná sedela v práci a s tým zvláštnym výrazom vnútorného a šťastne pokojného pohľadu, charakteristickém len pre tehotné ženy, pozerala na princeznú Maryu. Bolo jasné, že jej oči nevideli princeznú Maryu, ale pozerali sa hlboko do seba – do niečoho šťastného a tajomného, ​​čo sa v nej dialo.
"Marie," povedala, vzdialila sa od obruče a kolébala sa späť, "podaj mi tu ruku." “ Vzala princeznú za ruku a položila jej ju na brucho.
Oči sa jej s očakávaním usmievali, špongia s fúzmi sa zdvihla a detsky šťastne zostala zdvihnutá.
Princezná Marya si pred ňou kľakla a skryla tvár do záhybov šiat svojej nevesty.
- Tu, tu - počuješ? Je mi to také zvláštne. A vieš, Marie, budem ho veľmi milovať,“ povedala Lisa a hľadela na svoju švagrinú žiarivými, šťastnými očami. Princezná Marya nemohla zdvihnúť hlavu: plakala.
- Čo ti je, Máša?
"Nič... Cítila som sa tak smutná... smutná kvôli Andrei," povedala a utrela si slzy na kolenách svojej nevesty. Počas dopoludnia začala princezná Marya niekoľkokrát pripravovať svoju nevestu a zakaždým začala plakať. Tieto slzy, dôvod, pre ktorý malá princezná nerozumela, ju znepokojili, bez ohľadu na to, aká málo pozorná bola. Nič nepovedala, len sa nepokojne obzerala a niečo hľadala. Pred večerou vstúpil do jej izby starý princ, ktorého sa vždy bála, teraz s obzvlášť nepokojnou, nahnevanou tvárou a bez slova odišiel. Pozrela sa na princeznú Maryu, potom si pomyslela s tým výrazom v očiach pozornosti nasmerovanej dovnútra, akú majú tehotné ženy, a zrazu začala plakať.
– Dostali ste niečo od Andreyho? - povedala.
- Nie, viete, že správy ešte nemôžu prísť, ale mon pere sa bojí a ja sa bojím.
- Nič?
"Nič," povedala princezná Marya a pevne hľadela na svoju nevestu žiarivými očami. Rozhodla sa, že jej to nepovie a presvedčila svojho otca, aby zatajil prijatie hroznej správy od svojej nevesty, kým jej to nepovolí, čo sa malo stať včera. Princezná Marya a starý princ, každý svojím spôsobom, nosili a skrývali svoj smútok. Starý princ nechcel dúfať: rozhodol sa, že knieža Andrej bol zabitý, a napriek tomu, že poslal úradníka do Rakúska hľadať stopy svojho syna, objednal mu v Moskve pomník, ktorý mal v úmysle postaviť. vo svojej záhrade a všetkým povedal, že jeho syn bol zabitý. Pokúsil sa viesť svoj predchádzajúci životný štýl bez zmeny, ale jeho sila ho zlyhala: menej chodil, menej jedol, menej spal a každým dňom slabol. Princezná Marya dúfala. Modlila sa za brata, akoby bol nažive, a každú minútu čakala na správy o jeho návrate.

„Ma bonne amie, [môj dobrý priateľ," povedala malá princezná ráno 19. marca po raňajkách a jej špongia s fúzmi sa zdvihla podľa starého zvyku; ale tak ako vo všetkých nielen úsmevoch, ale zvukoch rečí, dokonca aj chôdzach v tomto dome odo dňa, keď sa tá hrozná správa dozvedela, bol smútok, tak teraz úsmev malej princeznej, ktorá podľahla všeobecnej nálade, hoci nepoznala jeho dôvod, bola taká, že mi ešte viac pripomínala všeobecný smútok.
- Ma bonne amie, je crains que le fruschtique (comme dit Foka - kuchár) de ce matin ne m "aie pas fait du mal." [Priateľ môj, obávam sa, že súčasný frishtik (ako to nazýva kuchár Foka) bude mi zle ]
-Čo ti je, duša moja? Si bledý. "Ach, si veľmi bledá," povedala princezná Marya vystrašene a pribehla k svojej svokre svojimi ťažkými, mäkkými krokmi.
- Vaša Excelencia, mám poslať po Maryu Bogdanovnu? - povedala jedna zo slúžok, ktoré tu boli. (Marya Bogdanovna bola pôrodná asistentka z okresného mesta, ktorá už týždeň žila v Lysých horách.)
"A skutočne," zdvihla princezná Marya, "možno určite." Pôjdem. Odvaha, mon ange! [Neboj sa, môj anjel.] Pobozkala Lisu a chcela odísť z izby.
- Oh, nie, nie! - A okrem bledosti tvár malej princeznej vyjadrovala detský strach z nevyhnutného fyzického utrpenia.
- Nie, c"est l"estomac... dites que c"est l"estomac, dites, Marie, dites..., [Nie, toto je žalúdok... povedz mi, Masha, že toto je žalúdok ...] - a princezná začala detsky, bolestivo, vrtošivo a dokonca trochu predstieravo plakať, lomiac jeho ručičkami. Princezná vybehla z izby za Maryou Bogdanovnou.
- Mon Dieu! Mon Dieu! [Môj Bože! Oh môj Bože!] Oh! – počula za sebou.
Pôrodná asistentka si šúchala svoje bacuľaté, malé, biele ručičky a už k nej kráčala s výrazne pokojnou tvárou.
- Marya Bogdanovna! Zdá sa, že sa to začalo,“ povedala princezná Marya a pozrela na svoju babičku vystrašenými, otvorenými očami.
"No, vďaka Bohu, princezná," povedala Marya Bogdanovna bez toho, aby zvýšila tempo. "Dievčatá by ste o tom nemali vedieť."
- Ale ako to, že doktor ešte neprišiel z Moskvy? - povedala princezná. (Na žiadosť Lisy a princa Andreyho bol pôrodník poslaný do Moskvy včas a očakávali ho každú minútu.)
"To je v poriadku, princezná, neboj sa," povedala Marya Bogdanovna, "a bez lekára bude všetko v poriadku."
O päť minút neskôr princezná počula zo svojej izby, že nesú niečo ťažké. Pozrela von – čašníci niesli do spálne koženú pohovku, ktorá bola z nejakého dôvodu v kancelárii princa Andreja. Na tvárach ľudí, ktorí ich niesli, bolo niečo vážne a tiché.
Princezná Marya sedela sama vo svojej izbe, počúvala zvuky domu, občas otvorila dvere, keď prechádzali okolo, a pozorne sa pozerala, čo sa deje na chodbe. Niekoľko žien vchádzalo a vychádzalo tichými krokmi, pozrelo sa na princeznú a odvrátilo sa od nej. Neodvážila sa opýtať, zavrela dvere, vrátila sa do svojej izby a potom sa posadila do kresla, vzala svoju modlitebnú knižku a kľakla si pred skrinku na ikonu. Nanešťastie a na svoje prekvapenie cítila, že modlitba neutíchla jej úzkosť. Zrazu sa potichu otvorili dvere jej izby a na prahu sa objavila jej stará pestúnka Praskovya Savishna, previazaná šatkou, takmer nikdy, kvôli princovmu zákazu, nevstúpila do jej izby.
"Prišla som si k tebe sadnúť, Mashenka," povedala pestúnka, "ale priniesla som princove svadobné sviečky zapáliť pred svätého, môjho anjela," povedala s povzdychom.
- Och, som tak rád, opatrovateľka.
- Boh je milosrdný, moja drahá. - Opatrovateľka zapálila sviečky prepletené zlatom pred puzdrom na ikonu a posadila sa s pančuchou pri dverách. Princezná Marya vzala knihu a začala čítať. Len keď sa ozvali kroky alebo hlasy, princezná sa na seba vystrašene, spýtavo pozrela a opatrovateľka. Vo všetkých častiach domu sa rozlial ten istý pocit, ktorý prežívala princezná Marya, keď sedela vo svojej izbe, a všetkých posadol. Podľa presvedčenia, že čím menej ľudí vie o utrpení rodiacej ženy, tým menej trpí, sa každý snažil predstierať, že nevie; nikto o tom nehovoril, ale vo všetkých ľuďoch bolo okrem obyčajného pokoja a úcty k dobrým mravom, ktoré vládli v kniežacom dome, vidieť jednu spoločnú starosť, mäkkosť srdca a vedomie niečoho veľkého, nepochopiteľného, prebiehajúce v tej chvíli.
Vo veľkej izbe pre chyžnú nebolo počuť žiadny smiech. V čašníčke všetci ľudia sedeli a mlčali, pripravení niečo urobiť. Sluhovia pálili fakle a sviečky a nespali. Starý princ, stúpil na pätu, obišiel kanceláriu a poslal Tikhona k Marye Bogdanovne, aby sa spýtal: čo? - Len mi povedz: princ mi prikázal, aby som sa spýtal čo? a poď mi povedať, čo hovorí.
"Oznámte princovi, že sa začali pôrody," povedala Marya Bogdanovna a významne sa pozrela na posla. Tikhon išiel a oznámil princovi.
"Dobre," povedal princ a zavrel za sebou dvere a Tikhon už v kancelárii nepočul ani najmenší zvuk. O niečo neskôr vstúpil do kancelárie Tikhon, akoby chcel upraviť sviečky. Keď Tikhon videl, že princ leží na pohovke, pozrel sa na princa, na jeho rozrušenú tvár, pokrútil hlavou, ticho k nemu pristúpil a pobozkal ho na rameno a odišiel bez toho, aby upravil sviečky alebo povedal, prečo prišiel. Naďalej sa vykonávala najslávnostnejšia sviatosť na svete. Uplynul večer, prišla noc. A pocit očakávania a obmäkčenia srdca tvárou v tvár nepochopiteľnému neklesol, ale stúpal. Nikto nespal.

Bola to jedna z tých marcových nocí, keď sa zdá, že zima si chce vybrať svoju daň a so zúfalým hnevom vylieva posledné snehy a búrky. Na stretnutie s nemeckým lekárom z Moskvy, na ktorého čakali každú minútu a pre ktorého bola vyslaná podpora na hlavnú cestu, k odbočke na poľnú cestu, boli vyslaní jazdci s lampášmi, aby ho previedli cez výmoly a zápchy.
Princezná Marya opustila knihu už dávno: ticho sedela a svoje žiarivé oči upierala na vráskavú tvár opatrovateľky, ktorá bola známa do najmenších detailov: na prameň šedivých vlasov, ktoré unikli spod šatky, na visiace vrecúško. kožu pod bradou.
Opatrovateľka Savishna s pančuchou v rukách tichým hlasom rozprávala, bez toho, aby počula a nerozumela vlastným slovám, to, čo sa už stokrát hovorilo o tom, ako zosnulá princezná v Kišiňove porodila princeznú Maryu s moldavskou roľníčkou. svojej babičky.
"Bože, zmiluj sa, nikdy nepotrebuješ lekára," povedala. Zrazu poryv vetra zasiahol jeden z odhalených rámov miestnosti (z vôle princa bol vždy jeden rám vystavený so škovránkami v každej miestnosti) a odbil zle zatvorenú závoru, zavial damaškový záves a zapáchal. zima a sneh, sfúkol sviečku. Princezná Marya sa striasla; Opatrovateľka si dala dole pančuchu, podišla k oknu, vyklonila sa a začala chytať zložený rám. Studený vietor jej rozstrapatil konce šatky a sivé, túlavé pramene vlasov.
- Princezná, matka, niekto ide po ceste pred vami! - povedala, držala rám a nezavrela ho. - S lampášmi by to malo byť, doktor...
- Preboha! Boh žehnaj! - povedala princezná Marya, - musíme sa s ním stretnúť: nevie po rusky.
Princezná Marya si hodila šál a rozbehla sa smerom k cestujúcim. Keď prešla cez predsieň, cez okno videla, že pri vchode stojí nejaký kočiar a lampáše. Vyšla na schody. Na stĺpe zábradlia bola lojová sviečka a tiekla od vetra. Čašník Philip s vystrašenou tvárou a ďalšou sviečkou v ruke stál dole, na prvom schodisku. Ešte nižšie, za zákrutou, popri schodoch bolo počuť pohybujúce sa kroky v teplých čižmách. A nejaký známy hlas, ako sa zdalo princeznej Marye, niečo povedal.

Nie si otrok!
Uzavretý vzdelávací kurz pre deti elity: "Skutočné usporiadanie sveta."
http://noslave.org

Materiál z Wikipédie – voľnej encyklopédie

Multiplikatívna skupina zvyškového kruhu modulo m- multiplikatívna skupina invertibilných prvkov zvyškového kruhu modulo m. V tomto prípade možno akýkoľvek redukovaný systém modulo zvyškov považovať za súbor prvkov m.

Znížený systém zrážok

Znížený systém zrážok modulo m- množina všetkých čísel úplného systému modulo zvyškov m, spolu s m. Ako redukovaný systém modulových zrážok m Obyčajne berieme s koprimovými mčísla od 1 predtým m - 1 .

Príklad: redukovaný systém zvyškov modulo 42 bude: (1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41).

Vlastnosti

Redukovaný systém zvyškov s modulo násobením m tvorí skupinu tzv multiplikatívna skupina alebo skupina invertibilných prvkov zvyškového kruhu modulo m , ktorý je označený texvc alebo Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U(\mathbb(Z)_m) .

Ak m jednoduché, potom, ako je uvedené vyššie, prvky 1, 2, ..., m-1 v cene Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \mathbb(Z)_m^(\times). V tomto prípade Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \mathbb(Z)_m^(\times) je pole.

Záznamové formuláre

Modulo zvyškový krúžok n označovať Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \mathbb(Z)/n\mathbb(Z) alebo Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): \mathbb(Z)_n. Jeho multiplikatívna skupina, ako vo všeobecnom prípade skupín invertibilných prvkov kruhov, je označená Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozrite si math/README – pomoc s nastavením.): (\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))^*, Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): (\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))^\times, Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)), Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): E(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)), Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): \mathbb(Z)_n^(\times), Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U(\mathbb(Z)_n) .

Najjednoduchší prípad

Pochopiť štruktúru skupiny Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc , môžeme uvažovať o špeciálnom prípade Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): n=p^a, Kde Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc - prvočíslo a zovšeobecniť ho. Uvažujme o najjednoduchšom prípade, kedy Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri matematiku/README - pomoc s nastavením.): a=1, t.j. Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): n=p .

Veta: Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc - cyklická skupina.

Príklad : Zvážte skupinu Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc

Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))= (1,2,4,5,7,8) Generátorom skupiny je číslo 2. Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): 2^1 \equiv 2\ \pmod 9 Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): 2^2 \equiv 4\ \pmod 9 Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): 2^3 \equiv 8\ \pmod 9 Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): 2^4 \equiv 7\ \pmod 9 Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): 2^5 \equiv 5\ \pmod 9 Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): 2^6 \equiv 1\ \pmod 9 Ako vidíme, akýkoľvek prvok skupiny Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z)) môžu byť prezentované vo forme Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): 2^l, Kde Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): 1\le\ell< \varphi(m) . Teda skupina Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))- cyklický.

Všeobecný prípad

Na zváženie všeobecného prípadu je potrebné definovať primitívny koreň. Primitívny koreňový modulo prime Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.):s je číslo, ktoré spolu so svojou triedou zvyškov vytvára skupinu Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U(\mathbb(Z)/p\mathbb(Z)) .

Príklady: 2 11 ; 8 - primitívne koreňové modulo 11 ; 3 nie je primitívny koreňový modul 11 .

V prípade celého modulu Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): n definícia je rovnaká.

Štruktúra grupy je určená nasledujúcou vetou: Ak p je nepárne prvočíslo a l je kladné celé číslo, potom existujú primitívne korene modulo Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): p^(l), teda Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U(\mathbb(Z)/p^(l)\mathbb(Z))- cyklická skupina.

Podskupina Svedkov jednoduchosti

Nechaj Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc - nepárne číslo väčšie ako 1. Číslo Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc jasne prezentované vo formulári Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): m-1 = 2^s \cdot t, Kde Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): t zvláštny. Celé číslo Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): a , Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): 1< a < m , volal svedčiť o jednoduchostičísla Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): m, ak je splnená jedna z podmienok:

• Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): a^t\equiv 1\pmod m

• existuje celé číslo Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): k , Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): 0\leq k , také že Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): a^(2^kt)\equiv m-1\pmod m.

Ak číslo Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): m- kompozit, existuje podskupina multiplikatívnej skupiny zvyškového kruhu, nazývaná podskupina svedkov prvotiny. Jeho prvky povýšené na silu Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematické/README.): m-1, zhodovať sa Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc modulo Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): m .

Príklad : Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri matematiku/README - pomoc s nastavením.): m=9. Jedzte Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): 6 zvyšky sú vzájomne prvočíslo s Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc , Toto Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri matematiku/README - pomoc s nastavením.): 1,2,4,5,7 A Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc . Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): 8 ekvivalent Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri matematiku/README - pomoc s nastavením.): -1 modulo Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): 9, Prostriedky Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): 8^(8) ekvivalent Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): 1 modulo Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): 9. znamená, Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): 1 A Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): 8- svedkovia prvoradosti čísla Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): 9. V tomto prípade (1, 8) ide o podskupinu svedkov jednoduchosti.

Vlastnosti

Skupinový vystavovateľ

Generačná súprava

Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)) je cyklická skupina vtedy a len vtedy Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \varphi(n)=\lambda(n). V prípade cyklickej skupiny sa generátor nazýva primitívny koreň.

Príklad

Znížený systém modulových zrážok Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): 10 zahŕňa Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): 4 odvodové triedy: Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): _(10), _(10), _(10), _(10). Vzhľadom na násobenie definované pre triedy zvyškov tvoria skupinu a Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc A Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri matematiku/README - pomoc s nastavením.): _(10) sú vzájomne inverzné (tj Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozrite si math/README – pomoc s nastavením.): _(10)(\cdot)_(10) = _(10)), A Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri matematiku/README - pomoc s nastavením.): _(10) A Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri matematiku/README - pomoc s nastavením.): _(10) sú k sebe inverzné.

Štruktúra skupiny

Záznam Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): C_n"cyklická skupina rádu n".

Štruktúra skupiny Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))

Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc	Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))	Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc	Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc	generátor		Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): n\;	Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))	Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \varphi(n)	Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): \lambda(n)\;	generátor
2	C 1	1	1	1		33	C2 x C 10	20	10	10, 2
3	C 2	2	2	2		34	C 16	16	16	3
4	C 2	2	2	3		35	C2 x C 12	24	12	6, 2
5	C 4	4	4	2		36	C2 x C6	12	6	19, 5
6	C 2	2	2	5		37	C 36	36	36	2
7	C 6	6	6	3		38	C 18	18	18	3
8	C2 x C2	4	2	7, 3		39	C2 x C 12	24	12	38, 2
9	C 6	6	6	2		40	C2 x C2 x C4	16	4	39, 11, 3
10	C 4	4	4	3		41	C 40	40	40	6
11	C 10	10	10	2		42	C2 x C6	12	6	13, 5
12	C2 x C2	4	2	5, 7		43	C 42	42	42	3
13	C 12	12	12	2		44	C2 x C 10	20	10	43, 3
14	C 6	6	6	3		45	C2 x C 12	24	12	44, 2
15	C2 x C4	8	4	14, 2		46	C 22	22	22	5
16	C2 x C4	8	4	15, 3		47	C 46	46	46	5
17	C 16	16	16	3		48	C2 x C2 x C4	16	4	47, 7, 5
18	C 6	6	6	5		49	C 42	42	42	3
19	C 18	18	18	2		50	C 20	20	20	3
20	C2 x C4	8	4	19, 3		51	C2 x C 16	32	16	50, 5
21	C2 x C6	12	6	20, 2		52	C2 x C 12	24	12	51, 7
22	C 10	10	10	7		53	C 52	52	52	2
23	C 22	22	22	5		54	C 18	18	18	5
24	C2 x C2 x C2	8	2	5, 7, 13		55	C2 x C20	40	20	21, 2
25	C 20	20	20	2		56	C2 x C2 x C6	24	6	13, 29, 3
26	C 12	12	12	7		57	C2 x C 18	36	18	20, 2
27	C 18	18	18	2		58	C 28	28	28	3
28	C2 x C6	12	6	13, 3		59	C 58	58	58	2
29	C 28	28	28	2		60	C2 x C2 x C4	16	4	11, 19, 7
30	C2 x C4	8	4	11, 7		61	C 60	60	60	2
31	C 30	30	30	3		62	C 30	30	30	3
32	C2 x C8	16	8	31, 3		63	C6 x C6	36	6	2, 5

Aplikácia

Príbeh

K štúdiu štruktúry multiplikatívnej skupiny zvyškového kruhu prispeli Artin, Bilharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Fermat, Hooley, Euler. Lagrange dokázal lemu, že ak Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): f(x) \in k[x], a k je pole, potom f má najviac n rôznych koreňov, kde n je stupeň f. Dokázal tiež dôležitý dôsledok tejto lemy, ktorý spočíva v komparácii Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): x^(p-1)-1 ≡ Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): (x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p). Euler dokázal Fermatovu malú vetu. Waring sformuloval Wilsonovu vetu a Lagrange to dokázal. Euler navrhol existenciu primitívnych koreňov modulo prvočíslo. Gauss to dokázal. Artin predložil svoju hypotézu o existencii a kvantifikácii prvočísel, modulo, pričom dané celé číslo je primitívny koreň. Brouwer prispel k problému existencie množín po sebe nasledujúcich celých čísel, z ktorých každé je k-tou mocninou mod p. Bilharz dokázal analógiu Artinovej domnienky. Hooley dokázal Artinovu domnienku za predpokladu platnosti rozšírenej Riemannovej hypotézy v algebraických číselných poliach.

Napíšte recenziu na článok "Multiplikatívna skupina zvyškového kruhu"

Poznámky

Literatúra

• Ireland K., Rosen M. Klasický úvod do modernej teórie čísel. - M.: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Základy kryptografie. - Moskva: „Helios ARV“, 2002.
• Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Teoretická kryptografia. - Petrohrad: NPO „Professional“, 2004.

Odkazy

• Bukhshtab A.A. Teória čísel. - M.: Školstvo, 1966.
• Weisstein, Eric W.(anglicky) na webovej stránke Wolfram MathWorld.

Úryvok charakterizujúci multiplikatívnu skupinu zvyškového kruhu

- Nie som divný - len žijem. Ale žijem medzi dvoma svetmi - živými a mŕtvymi... A vidím to, čo mnohí, žiaľ, nevidia. Asi preto mi nikto neverí... Ale všetko by bolo oveľa jednoduchšie, keby ľudia aspoň minútu počúvali a premýšľali, aj keď neverili... Ale myslím si, že ak sa toto stane, keď Raz, určite dnes sa to nestane... A dnes s tým musím žiť...
"Je mi to tak ľúto, zlatko..." zašepkal muž. "A viete, je tu veľa ľudí ako ja." Sú ich tu tisíce... Asi by ste mali záujem sa s nimi porozprávať. Existujú dokonca aj skutoční hrdinovia, nie ako ja. Je ich tu veľa...
Zrazu som mal divokú túžbu pomôcť tomuto smutnému, osamelému mužovi. Je pravda, že som absolútne netušil, čo by som pre neho mohol urobiť.
"Chceš, aby sme pre teba vytvorili iný svet, keď si tu?" spýtala sa zrazu Stella.
Bol to skvelý nápad a trochu som sa hanbil, že ma to nenapadlo ako prvé. Stella bola úžasný človek a akosi vždy našla niečo pekné, čo by mohlo druhým priniesť radosť.
– Aký „iný svet“?... – prekvapil sa muž.
- Ale pozri... - a v jeho tmavej, ponurej jaskyni zrazu zažiarilo jasné, radostné svetlo!... - Ako sa ti páči tento dom?
Oči nášho „smutného“ priateľa sa šťastne rozžiarili. Zmätene sa obzeral okolo seba, nechápal, čo sa tu stalo... A v jeho strašidelnej tmavej jaskyni teraz veselo a jasne svietilo slnko, voňala bujná zeleň, ozýval sa spev vtákov a bola tu úžasná vôňa rozkvitnutých kvetov. .. A vlastne v jeho vzdialenom rohu veselo zurčal potôčik, špliechal kvapôčky tej najčistejšej, najčerstvejšej, krištáľovej vody...
- Nech sa páči! Ako chcete? “ spýtala sa Stella veselo.
Muž, úplne omráčený tým, čo videl, nevydal ani slovo, len sa na celú tú krásu pozeral prekvapene rozšírenými očami, v ktorých ako čisté diamanty žiarili chvejúce sa kvapky „šťastných“ sĺz...
"Pane, je to tak dlho, čo som videl slnko!" zašepkal. -Kto si, dievča?
- Oh, som len človek. To isté ako ty - mŕtvy. Ale tu je, už viete - nažive. Chodíme sem občas spolu. A pomáhame, ak môžeme, samozrejme.
Bolo vidno, že bábätko je s vyvolaným efektom spokojné a doslova sa vrtí túžbou si ho predĺžiť...
- Naozaj sa ti páči? Chcete, aby to tak zostalo?
Muž len prikývol, neschopný zo seba vydať ani slovo.
Ani som sa nepokúšal predstaviť si, aké šťastie musel prežívať po čiernej hrôze, v ktorej sa tak dlho každý deň ocitol!...
„Ďakujem, zlatko...“ zašepkal muž potichu. - Len mi povedz, ako to môže zostať?...
- Oh, to je ľahké! Váš svet bude len tu, v tejto jaskyni a nikto ho okrem vás neuvidí. A ak odtiaľto neodídeš, zostane s tebou navždy. No, prídem k vám skontrolovať... Volám sa Stella.
- Neviem, čo na to povedať... Nezaslúžim si to. Toto je pravdepodobne nesprávne... Volám sa Luminary. Áno, zatiaľ nepriniesol veľa „svetla“, ako môžete vidieť...
- Nevadí, prines mi ešte! – bolo jasné, že dievčatko je veľmi hrdé na to, čo dokázalo, a sršalo od radosti.
„Ďakujem, drahá...“ Svetielko sedel so sklonenou hrdou hlavou a zrazu začal úplne detinsky plakať...
"No a čo ostatní, ktorí sú rovnakí?" potichu som zašepkal Stelli do ucha. – Musí ich byť veľa, však? Čo s nimi robiť? Koniec koncov, nie je fér pomáhať jednému. A kto nám dal právo posúdiť, ktorý z nich je hodný takejto pomoci?
Stellino tvár sa okamžite zamračila...
– Neviem... Ale s istotou viem, že je to tak. Ak by to bolo nesprávne, neuspeli by sme. Tu platia iné zákony...
Zrazu mi to došlo:
- Moment, čo náš Harold?!.. Veď bol rytier, to znamená, že aj zabíjal? Ako sa mu podarilo zostať tam, na „najvyššom poschodí“?...
"Zaplatil za všetko, čo urobil... Pýtal som sa ho na to - zaplatil veľmi draho..." odpovedala Stella vážne a smiešne krčila čelo.
- Čím si zaplatil? - Nerozumel som.
"Podstata..." smutne zašepkalo dievčatko. "Vzdal sa časti svojej podstaty za to, čo urobil počas svojho života." Jeho podstata však bola veľmi vysoká, a preto aj po tom, čo jej časť odovzdal, bol stále schopný zostať „na vrchole“. Ale len veľmi málo ľudí to dokáže, iba skutočne vysoko rozvinuté entity. Ľudia zvyčajne strácajú príliš veľa a skončia oveľa nižšie, ako boli pôvodne. Ako svieti...
Bolo to úžasné... To znamená, že keď ľudia urobili niečo zlé na Zemi, stratili časť seba samých (alebo skôr časť svojho evolučného potenciálu) a aj napriek tomu museli stále zotrvávať v tej hrôze z nočnej mory, ktorá bola zvaný - „dolný“ astrál... Áno, za chyby sa naozaj muselo draho zaplatiť...
"No, už môžeme ísť," zašvitorilo dievčatko a spokojne mávlo rukou. - Zbohom, Luminary! Prídem k tebe!
Pohli sme sa ďalej a náš nový priateľ stále sedel, zamrznutý nečakaným šťastím, hltavo nasával teplo a krásu sveta vytvoreného Stellou a ponoril sa doň tak hlboko, ako by to urobil umierajúci človek, pričom sa mu zrazu vrátil život. ...
"Áno, je to tak, máš úplnú pravdu!" povedala som zamyslene.
Stella žiarila.
V tej „najdúhovejšej“ nálade sme sa práve otočili smerom k horám, keď sa z oblakov zrazu vynoril obrovský tvor s ostnatými pazúrmi a vyrútil sa priamo na nás...
- Buď opatrný! – skríkla Stela, akurát som stihol vidieť dva rady zubov ostrých ako žiletka a zo silného úderu do chrbta som sa zvalil hlavou na zem...
Z divokej hrôzy, ktorá nás zachvátila, sme sa ako strely rútili širokým údolím, ani sme nepomysleli na to, že by sme mohli ísť rýchlo na iné „poschodie“... Jednoducho sme nemali čas na to myslieť – príliš sme sa báli.
To stvorenie letelo priamo nad nami, hlasno cvakalo rozďaveným zubatým zobákom a my sme sa ponáhľali, ako sme len mohli, špliechajúc odporné slizké špliechadlá do strán a v duchu sme sa modlili, aby tohto strašidelného „zázračného vtáka“ zrazu zaujalo niečo iné... bolo cítiť, že je oveľa rýchlejšia a jednoducho sme nemali šancu sa od nej odtrhnúť. Ako šťastie, nablízku nerástol ani jeden strom, neboli tam žiadne kríky, ba ani kamene, za ktoré by sa dalo schovať, len v diaľke bolo vidieť zlovestnú čiernu skalu.
- Tu! – vykríkla Stella a ukázala prstom na ten istý kameň.
No zrazu, nečakane, priamo pred nami sa odniekiaľ zjavila bytosť, pri pohľade na ktorú nám doslova stuhla krv v žilách... Vyzeralo to akoby „priamo zo vzduchu“ a bolo naozaj desivé... obrovská čierna mŕtvola bola celá pokrytá dlhými, hrubými vlasmi, takže vyzeral ako bruchý, len tento „medveď“ bol vysoký ako trojposchodový dom... Hrčatá hlava netvora bola „korunovaná“ dvoma obrovskými zakrivenými rohy a strašidelné ústa boli zdobené párom neuveriteľne dlhých tesákov, ostrých ako nože, len pri pohľade, ktorým sa nám od strachu podlomili nohy... A potom, čo nás neuveriteľne prekvapilo, monštrum ľahko vyskočilo a. .. zdvihol lietajúce „hno“ na jeden zo svojich obrovských tesákov... Zmrzli sme v šoku.
- Poďme bežať!!! – skríkla Stella. – Poďme bežať, kým je „zaneprázdnený“!...
A boli sme pripravení znova sa ponáhľať bez toho, aby sme sa obzreli, keď zrazu za našimi chrbtom zaznel tenký hlas:
- Dievčatá, počkajte!!! Netreba utekať!... Dean ťa zachránil, nie je nepriateľ!
Prudko sme sa otočili - za nami stálo maličké, veľmi krásne čiernooké dievčatko... a pokojne hladilo príšeru, ktorá sa k nej priblížila!... Naše oči sa rozšírili prekvapením... Bolo to neuveriteľné! Iste - bol to deň prekvapení!... Dievča, pozerajúc na nás, sa prívetivo usmialo, vôbec sa nebálo chlpatej príšery stojacej vedľa nás.
- Prosím, nebojte sa ho. Je veľmi milý. Videli sme, že ťa Ovara prenasleduje a rozhodli sme sa pomôcť. Dean bol skvelý, stihol to načas. Naozaj, moja drahá?
„Dobrý“ zamrmlal, čo znelo ako slabé zemetrasenie, a sklonil hlavu a oblizol dievčinu tvár.
– Kto je Owara a prečo nás napadla? - Opýtal som sa.
"Útočí na každého, je to predátor." A veľmi nebezpečné,“ odpovedalo dievča pokojne. – Môžem sa opýtať, čo tu robíš? Vy nie ste odtiaľto, dievčatá?
- Nie, nie odtiaľto. Len sme kráčali. Ale tá istá otázka pre teba - čo tu robíš?
„Idem za mamou...“ zarmútilo sa dievčatko. "Zomreli sme spolu, ale z nejakého dôvodu skončila tu." A teraz tu žijem, ale nepoviem jej to, pretože s tým nikdy nebude súhlasiť. Myslí si, že len prídem...
– Nie je lepšie jednoducho prísť? Je to tu také strašné!... – Stella pokrčila plecami.
"Nemôžem ju tu nechať samú, sledujem ju, aby sa jej nič nestalo." A tu je so mnou Dean... Pomáha mi.
Nemohla som tomu uveriť... Toto malé statočné dievčatko dobrovoľne opustilo svoje krásne a milé „poschodie“, aby žilo v tomto chladnom, hroznom a cudzom svete, chrániac svoju matku, ktorá bola nejakým spôsobom veľmi „vinná“! Nemyslím si, že by sa našlo veľa tak odvážnych a obetavých ľudí (aj dospelých!), ktorí by sa odvážili podstúpiť takýto čin... A hneď mi napadlo - možno len nepochopila, na čo sa sama odsúdi. ?!
– Ako dlho si tu, dievča, ak to nie je tajomstvo?
„Nedávno...“ odpovedalo smutne čiernooké dieťa a prstami si potiahlo čierny prameň svojich kučeravých vlasov. – Keď som zomrel, ocitol som sa v takom krásnom svete!... Bol taký láskavý a bystrý!... A potom som videl, že mama nie je pri mne a ponáhľal som sa ju hľadať. Spočiatku to bolo také strašidelné! Z nejakého dôvodu ju nikde nenašli... A potom som upadol do tohto hrozného sveta... A potom som ju našiel. Bol som tu tak vystrašený... Tak osamelý... Mama mi povedala, aby som odišiel, dokonca mi vynadala. Ale nemôžem ju opustiť... Teraz mám priateľa, môjho dobrého Deana, a už tu môžem nejako existovať.
Jej „dobrý priateľ“ opäť zavrčal, z čoho nám so Stellou naskočila obrovská „dolná astrálna“ husia koža... Keď som sa pozbieral, pokúsil som sa trochu upokojiť a začal som sa bližšie pozerať na tento chlpatý zázrak... A on, okamžite cítil, že si ho všimli, strašne odkryl ústa s tesákmi... Odskočil som.
- Oh, nebojte sa, prosím! "Usmieva sa na teba," "uisťovalo dievča."
Áno... Z takého úsmevu sa naučíš rýchlo behať... - pomyslel som si.
- Ako sa stalo, že ste sa s ním spriatelili? – spýtala sa Stella.
– Keď som sem prvýkrát prišiel, veľmi som sa bál, najmä keď dnes útočili také príšery ako ty. A potom jedného dňa, keď som takmer zomrel, ma Dean zachránil pred množstvom strašidelných lietajúcich „vtákov“. Tiež som sa ho najprv bála, ale potom som si uvedomila, aké má zlaté srdce... Je to najlepší kamarát! Nikdy som nič také nemal, ani keď som žil na Zemi.
- Ako si si na to tak rýchlo zvykol? Jeho vzhľad nie je celkom, povedzme, známy...
– A tu som pochopil jednu veľmi jednoduchú pravdu, ktorú som si z nejakého dôvodu na Zemi nevšimol – na vzhľade nezáleží, či má človek alebo tvor dobré srdce... Moja mama bola veľmi krásna, no občas bola veľmi nahnevaná. tiež. A potom všetka jej krása niekam zmizla... A Dean, hoci je strašidelný, je vždy veľmi milý a vždy ma chráni, cítim jeho láskavosť a ničoho sa nebojím. Ale na vzhľad sa dá zvyknúť...