प्रसिद्ध खोज इंजन, साथ ही इस प्रणाली और कई अन्य उत्पादों को बनाने वाली कंपनी का नाम गूगोल संख्या के नाम पर रखा गया है - प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट में सबसे बड़ी संख्याओं में से एक। हालांकि, सबसे बड़ी संख्या गूगोल भी नहीं है, बल्कि गोगोलप्लेक्स है।
1938 में एडवर्ड कज़नर द्वारा पहली बार गोगोलप्लेक्स की संख्या प्रस्तावित की गई थी, यह एक और अविश्वसनीय संख्या में शून्य का प्रतिनिधित्व करता है। नाम दूसरे नंबर से आया है - गूगोल - एक सौ शून्य वाला। आमतौर पर गूगोल की संख्या 10 100, या 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 के रूप में लिखी जाती है।
Googolplex, बदले में, googol की घात का दसवां नंबर है। आमतौर पर इसे इस तरह लिखा जाता है: 10 10 ^ 100, और यह एक बहुत, बहुत सारे शून्य हैं। उनमें से इतने सारे हैं कि यदि आप ब्रह्मांड में अलग-अलग कणों का उपयोग करके शून्य की संख्या की गणना करने का निर्णय लेते हैं, तो कण गूगोलप्लेक्स में शून्य से पहले समाप्त हो जाएंगे।
कार्ल सागन के अनुसार, इस संख्या को लिखना असंभव है, क्योंकि इसे लिखने में दृश्य ब्रह्मांड में मौजूद संख्या की तुलना में अधिक स्थान लगेगा।
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ऐसी संख्याएँ हैं जो इतनी अविश्वसनीय, अविश्वसनीय रूप से बड़ी हैं कि उन्हें लिखने के लिए भी पूरे ब्रह्मांड की आवश्यकता होगी। लेकिन यहाँ वह है जो वास्तव में आपको पागल बनाता है ... इनमें से कुछ अकल्पनीय रूप से बड़ी संख्या दुनिया को समझने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।
जब मैं कहता हूं "ब्रह्मांड में सबसे बड़ी संख्या," मेरा मतलब वास्तव में सबसे बड़ा है सार्थकसंख्या, सबसे बड़ी संभव संख्या जो किसी तरह से उपयोगी हो। इस उपाधि के कई दावेदार हैं, लेकिन मैं आपको तुरंत चेतावनी देता हूं: वास्तव में एक जोखिम है कि यह सब समझने की कोशिश करने से आपका दिमाग खराब हो जाएगा। और इसके अलावा, बहुत अधिक गणित के साथ, आपको थोड़ा मज़ा आता है।
गूगोल और गूगोलप्लेक्स
एडवर्ड कास्नेर
हम दो के साथ शुरू कर सकते हैं, संभवतः सबसे बड़ी संख्या जो आपने कभी सुनी है, और ये वास्तव में दो सबसे बड़ी संख्याएं हैं जिनकी आम तौर पर अंग्रेजी में परिभाषाएं स्वीकार की जाती हैं। (आप जितना चाहें उतना बड़ा संख्याओं को दर्शाने के लिए एक सटीक सटीक नामकरण का उपयोग किया जाता है, लेकिन ये दो संख्याएं वर्तमान में शब्दकोशों में नहीं मिलती हैं।) Google, क्योंकि यह विश्व प्रसिद्ध हो गया (यद्यपि त्रुटियों के साथ, ध्यान दें। वास्तव में यह गूगोल है) Google के रूप में, 1920 में बच्चों की बड़ी संख्या में रुचि जगाने के लिए पैदा हुआ था।
यह अंत करने के लिए, एडवर्ड कास्नर (चित्रित) अपने दो भतीजों, मिल्टन और एडविन सिरोटे को न्यू जर्सी पालिसैड्स में टहलने के लिए ले गए। उन्होंने उन्हें किसी भी विचार को सामने रखने के लिए आमंत्रित किया, और फिर नौ वर्षीय मिल्टन ने "गूगोल" का सुझाव दिया। उसे यह शब्द कहाँ से मिला यह अज्ञात है, लेकिन कास्नर ने फैसला किया कि 
या जिस संख्या में इकाई के पीछे एक सौ शून्य हों, उसे आगे से गूगोल कहा जाएगा।
लेकिन युवा मिल्टन यहीं नहीं रुके, उन्होंने और भी बड़ी संख्या का प्रस्ताव रखा, एक गूगोलप्लेक्स। मिल्टन के अनुसार यह एक संख्या है, जिसमें पहले स्थान पर 1 है, उसके बाद उतने शून्य हैं जितने आप थकने से पहले लिख सकते हैं। जबकि यह विचार आकर्षक है, कास्नर ने फैसला किया कि एक अधिक औपचारिक परिभाषा की आवश्यकता थी। जैसा कि उन्होंने अपनी 1940 की पुस्तक मैथमैटिक्स एंड द इमेजिनेशन में समझाया, मिल्टन की परिभाषा ने जोखिम भरी संभावना को छोड़ दिया है कि आकस्मिक विदूषक अल्बर्ट आइंस्टीन से बेहतर गणितज्ञ बन सकता है, क्योंकि उसके पास अधिक धीरज है।
तो कास्नर ने फैसला किया कि गोगोलप्लेक्स बराबर होगा, या 1 और फिर शून्य का गोगोल। अन्यथा, और उन लोगों के समान अंकन में जिनके साथ हम अन्य संख्याओं के लिए सौदा करेंगे, हम कहेंगे कि एक googolplex है। यह दिखाने के लिए कि यह कितना मंत्रमुग्ध करने वाला है, कार्ल सागन ने एक बार टिप्पणी की थी कि एक गोगोलप्लेक्स के सभी शून्य को लिखना शारीरिक रूप से असंभव है, क्योंकि ब्रह्मांड में बस पर्याप्त जगह नहीं है। यदि आप अवलोकनीय ब्रह्मांड के पूरे आयतन को लगभग 1.5 माइक्रोन आकार के महीन धूल कणों से भर दें, तो इन कणों को व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीकों की संख्या लगभग एक गोगोलप्लेक्स के बराबर होगी।
भाषाई रूप से बोलते हुए, googol और googolplex शायद दो सबसे बड़ी महत्वपूर्ण संख्याएं हैं (कम से कम अंग्रेजी में), लेकिन, जैसा कि हम अब स्थापित करेंगे, "महत्व" को परिभाषित करने के असीमित तरीके हैं।
असली दुनिया
अगर हम सबसे बड़ी महत्वपूर्ण संख्या के बारे में बात कर रहे हैं, तो एक उचित तर्क है कि इसका वास्तव में मतलब है कि हमें दुनिया में वास्तविक मूल्य के साथ सबसे बड़ी संख्या खोजने की जरूरत है। हम वर्तमान मानव आबादी से शुरू कर सकते हैं, जो वर्तमान में लगभग 6,920 मिलियन है। 2010 में विश्व सकल घरेलू उत्पाद का अनुमान लगभग 61.96 बिलियन डॉलर था, लेकिन मानव शरीर को बनाने वाली लगभग 100 ट्रिलियन कोशिकाओं की तुलना में दोनों संख्याएँ नगण्य हैं। बेशक, इनमें से कोई भी संख्या ब्रह्मांड में कणों की कुल संख्या के साथ तुलना नहीं कर सकती है, जिसे एक नियम के रूप में, लगभग बराबर माना जाता है, और यह संख्या इतनी बड़ी है कि हमारी भाषा में एक समान शब्द नहीं है।
हम संख्याओं को बड़ा और बड़ा बनाते हुए, माप की प्रणालियों के साथ थोड़ा खेल सकते हैं। तो, टन में सूर्य का द्रव्यमान पाउंड से कम होगा। ऐसा करने का एक शानदार तरीका इकाइयों की प्लैंक प्रणाली का उपयोग करना है, जो कि सबसे छोटी संभव इकाइयाँ हैं जिनके लिए भौतिकी के नियम मान्य हैं। उदाहरण के लिए, प्लैंक के समय में ब्रह्मांड की आयु लगभग है। यदि हम बिग बैंग के बाद प्लैंक काल की पहली इकाई पर वापस जाएं, तो हम देखेंगे कि उस समय ब्रह्मांड का घनत्व कितना था। हम अधिक से अधिक हो रहे हैं, लेकिन हम अभी तक गूगोल तक नहीं पहुंचे हैं।
किसी भी वास्तविक विश्व अनुप्रयोग के साथ सबसे बड़ी संख्या - या, इस मामले में, एक वास्तविक विश्व अनुप्रयोग - संभवतः बहुविविध में ब्रह्मांडों की संख्या के सबसे हाल के अनुमानों में से एक है। यह संख्या इतनी बड़ी है कि मानव मस्तिष्क सचमुच इन सभी विभिन्न ब्रह्मांडों को देखने में असमर्थ होगा, क्योंकि मस्तिष्क केवल लगभग विन्यास में ही सक्षम है। वास्तव में, यह संख्या संभवतः किसी भी व्यावहारिक अर्थ के साथ सबसे बड़ी संख्या है जब तक कि आप समग्र रूप से मल्टीवर्स के विचार को ध्यान में नहीं रखते। हालाँकि, वहाँ अभी भी बहुत बड़ी संख्या छिपी हुई है। लेकिन उन्हें खोजने के लिए, हमें शुद्ध गणित के दायरे में जाना चाहिए, और अभाज्य संख्याओं से बेहतर कोई शुरुआत नहीं है।
मेर्सन प्राइम्स
कठिनाई का एक हिस्सा "महत्वपूर्ण" संख्या क्या है की एक अच्छी परिभाषा के साथ आ रहा है। एक तरीका अभाज्य और भाज्य संख्याओं के संदर्भ में सोचना है। एक अभाज्य संख्या, जैसा कि आप शायद स्कूली गणित से याद करते हैं, कोई भी प्राकृत संख्या (नोट, एक के बराबर नहीं) होती है, जो केवल अपने आप से विभाज्य होती है। अतः, और अभाज्य संख्याएँ हैं, और और भाज्य संख्याएँ हैं। इसका मतलब यह है कि किसी भी समग्र संख्या को अंततः उसके प्रमुख भाजक द्वारा दर्शाया जा सकता है। एक अर्थ में, एक संख्या कहने से अधिक महत्वपूर्ण है, क्योंकि छोटी संख्याओं के गुणन के रूप में इसे व्यक्त करने का कोई तरीका नहीं है।
जाहिर है, हम थोड़ा और आगे जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह वास्तव में सरल है, जिसका अर्थ है कि एक काल्पनिक दुनिया में जहां संख्याओं का हमारा ज्ञान एक संख्या तक सीमित है, एक गणितज्ञ अभी भी एक संख्या व्यक्त कर सकता है। लेकिन अगली संख्या पहले से ही अभाज्य है, जिसका अर्थ है कि इसे व्यक्त करने का एकमात्र तरीका इसके अस्तित्व के बारे में सीधे जानना है। इसका मतलब यह है कि सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्याएँ एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं, लेकिन, कहते हैं, गूगोल - जो अंततः केवल संख्याओं का एक संग्रह है और आपस में गुणा किया जाता है - वास्तव में ऐसा नहीं होता है। और चूंकि अभाज्य संख्याएँ अधिकतर यादृच्छिक होती हैं, इसलिए यह अनुमान लगाने का कोई ज्ञात तरीका नहीं है कि एक अविश्वसनीय रूप से बड़ी संख्या वास्तव में अभाज्य होगी। आज तक, नए अभाज्य संख्याओं की खोज करना कठिन है।
प्राचीन यूनानी गणितज्ञों के पास कम से कम 500 ईसा पूर्व में अभाज्य संख्याओं की अवधारणा थी, और 2000 साल बाद भी लोग जानते थे कि कौन सी संख्याएँ केवल 750 तक ही अभाज्य थीं। यूक्लिड के समय के विचारकों ने सरलीकरण की संभावना देखी, लेकिन पुनर्जागरण तक गणितज्ञों इसे वास्तव में व्यवहार में न लाएं। इन नंबरों को मेर्सन नंबर के रूप में जाना जाता है और इसका नाम 17 वीं शताब्दी के फ्रांसीसी वैज्ञानिक मरीना मेर्सन के नाम पर रखा गया है। यह विचार काफी सरल है: मेर्सन संख्या किसी भी रूप की संख्या है। इसलिए, उदाहरण के लिए, और यह संख्या अभाज्य है, वही इसके लिए सही है।
किसी भी अन्य प्रकार के प्राइम की तुलना में मेर्सन प्राइम की पहचान करना बहुत तेज़ और आसान है, और कंप्यूटर पिछले छह दशकों से उन्हें खोजने के लिए कड़ी मेहनत कर रहे हैं। 1952 तक, सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या एक संख्या थी - अंकों वाली एक संख्या। उसी वर्ष, एक कंप्यूटर ने गणना की कि संख्या अभाज्य है, और इस संख्या में संख्याएँ होती हैं, जो इसे एक गूगोल से बहुत बड़ा बनाती है।
कंप्यूटर तब से शिकार पर हैं, और Mersenne की nth संख्या वर्तमान में मानव जाति के लिए ज्ञात सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है। 2008 में खोजा गया, यह है - लगभग दस लाख अंकों वाली एक संख्या। यह सबसे बड़ी ज्ञात संख्या है जिसे किसी भी छोटी संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और यदि आप और भी बड़ी Mersenne संख्या खोजने में मदद करना चाहते हैं, तो आप (और आपका कंप्यूटर) हमेशा http: //www.mersenne पर खोज में शामिल हो सकते हैं। संगठन /.
स्क्यूज़ का नंबर
स्टेनली स्केव्स
आइए अभाज्य संख्याओं पर वापस जाएं। जैसा कि मैंने कहा, वे मौलिक रूप से गलत व्यवहार करते हैं, जिसका अर्थ है कि यह अनुमान लगाने का कोई तरीका नहीं है कि अगला प्राइम क्या होगा। भविष्य के अपराधों की भविष्यवाणी करने के लिए किसी तरह से आने के लिए गणितज्ञों को कुछ शानदार मापों की ओर मुड़ने के लिए मजबूर किया गया था, यहां तक कि कुछ अस्पष्ट तरीके से भी। इन प्रयासों में सबसे सफल शायद प्राइम काउंटिंग फंक्शन है, जिसका आविष्कार 18 वीं शताब्दी के अंत में महान गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने किया था।
मैं आपको अधिक जटिल गणित बचाऊंगा - एक तरह से या किसी अन्य, हमारे पास अभी भी बहुत कुछ है - लेकिन फ़ंक्शन का सार यह है: किसी भी पूर्णांक के लिए, आप अनुमान लगा सकते हैं कि कितने कम अभाज्य हैं। उदाहरण के लिए, यदि, फ़ंक्शन भविष्यवाणी करता है कि वहाँ अभाज्य संख्याएँ होनी चाहिए, यदि - अभाज्य, कम, और यदि, तो कम संख्याएँ हैं जो अभाज्य हैं।
अभाज्य संख्याओं की व्यवस्था वास्तव में अनियमित है और यह अभाज्य संख्याओं की वास्तविक संख्या का केवल एक अनुमान है। वास्तव में, हम जानते हैं कि अभाज्य, कम, अभाज्य कम और अभाज्य होते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए एक उत्कृष्ट ग्रेड है, लेकिन यह हमेशा केवल एक मूल्यांकन है ... और, विशेष रूप से, एक उच्च ग्रेड।
पहले के सभी ज्ञात मामलों में, प्राइम काउंट फ़ंक्शन कम अभाज्य संख्याओं की वास्तविक गणना को थोड़ा बढ़ा देता है। गणितज्ञों ने एक बार सोचा था कि यह हमेशा ऐसा ही होगा, एड इनफिनिटम, कि यह निश्चित रूप से कुछ अकल्पनीय रूप से बड़ी संख्याओं पर लागू होता है, लेकिन 1914 में जॉन एडेंज़ोर लिटिलवुड ने साबित कर दिया कि कुछ अज्ञात, अकल्पनीय रूप से बड़ी संख्या के लिए, यह फ़ंक्शन कम प्राइम का उत्पादन शुरू कर देगा, और फिर यह अपर बाउंड और लोअर बाउंड के बीच अनंत बार स्विच करेगा।
शिकार दौड़ के शुरुआती बिंदु पर था, और यहाँ स्टेनली स्क्यूज़ दिखाई दिए (फोटो देखें)। 1933 में, उन्होंने साबित किया कि ऊपरी सीमा जब एक फ़ंक्शन जो अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाता है, पहले एक छोटा मान देता है, एक संख्या है। यह वास्तव में समझना मुश्किल है, यहां तक कि सबसे अमूर्त अर्थ में, यह संख्या वास्तव में क्या दर्शाती है, और उस दृष्टिकोण से, यह गंभीर गणितीय प्रमाण में अब तक की सबसे बड़ी संख्या थी। तब से, गणितज्ञ ऊपरी सीमा को अपेक्षाकृत कम संख्या में कम करने में सक्षम हैं, लेकिन मूल संख्या को स्क्यूस संख्या के रूप में जाना जाता है।
तो वह संख्या कितनी बड़ी है जो शक्तिशाली गूगोलप्लेक्स को भी बौना बना देती है? द पेंगुइन डिक्शनरी ऑफ क्यूरियस एंड इंटरेस्टिंग नंबर्स में, डेविड वेल्स ने एक तरीके का वर्णन किया है कि हार्डी गणितज्ञ स्क्यूज़ की संख्या के आकार को समझने में सक्षम थे:
"हार्डी ने सोचा कि यह" गणित में किसी विशिष्ट उद्देश्य की पूर्ति के लिए अब तक की सबसे बड़ी संख्या है, "और सुझाव दिया कि यदि आप ब्रह्मांड के सभी कणों के साथ शतरंज खेलते हैं, तो एक कदम दो कणों को स्वैप करना होगा। और खेल समाप्त हो जाएगा जब उसी स्थिति को तीसरी बार दोहराया जाएगा, तो सभी संभावित खेलों की संख्या लगभग स्क्यूज़ की संख्या के बराबर होगी। ''
आगे बढ़ने से पहले एक आखिरी बात: हमने दो Skuse संख्याओं में से कम के बारे में बात की। एक और Skuse संख्या है, जिसे गणितज्ञ ने 1955 में खोजा था। पहली संख्या इस आधार पर प्राप्त की जाती है कि तथाकथित रीमैन परिकल्पना सत्य है - यह गणित की एक विशेष रूप से कठिन परिकल्पना है, जो अप्रमाणित रहती है, जब यह अभाज्य संख्याओं की बात आती है तो बहुत उपयोगी होती है। हालांकि, अगर रीमैन की परिकल्पना गलत है, तो स्क्यूस ने पाया कि छलांग का शुरुआती बिंदु बढ़ जाता है।
परिमाण की समस्या
इससे पहले कि हम उस संख्या तक पहुँचें जिसके आगे स्क्यूज़ की संख्या भी छोटी दिखती है, हमें पैमाने के बारे में थोड़ी बात करने की ज़रूरत है, क्योंकि अन्यथा हमारे पास यह अनुमान लगाने का कोई तरीका नहीं है कि हम कहाँ जा रहे हैं। आइए पहले एक संख्या लें - यह इतनी छोटी संख्या है कि लोग वास्तव में इसका अर्थ समझ सकते हैं। बहुत कम संख्याएँ हैं जो इस विवरण में फिट बैठती हैं, क्योंकि छह से बड़ी संख्याएँ अलग-अलग संख्याएँ नहीं रह जाती हैं और "कई", "कई", आदि बन जाती हैं।
अब आइए लेते हैं, यानी। ... यद्यपि हम वास्तव में सहज ज्ञान युक्त नहीं हो सकते, क्योंकि यह एक संख्या के लिए था, यह समझना बहुत आसान है कि यह क्या है, कल्पना करना कि यह क्या है। अब तक सब ठीक है। लेकिन क्या होगा अगर हम जाते हैं? या के बराबर है। हम इस मूल्य की कल्पना करने में सक्षम होने से बहुत दूर हैं, किसी भी अन्य की तरह, बहुत बड़े - हम एक लाख के आसपास कहीं अलग-अलग हिस्सों को समझने की क्षमता खो देते हैं। (सच है, यह वास्तव में जो कुछ भी एक लाख तक गिनने के लिए एक पागल राशि लेता है, लेकिन मुद्दा यह है कि हम अभी भी उस संख्या को देख सकते हैं।)
हालाँकि, जबकि हम कल्पना नहीं कर सकते हैं, हम कम से कम सामान्य शब्दों में यह समझने में सक्षम हैं कि 7.6 बिलियन क्या है, शायद इसकी तुलना यूएस जीडीपी जैसी किसी चीज़ से की जाए। हम अंतर्ज्ञान से प्रतिनिधित्व और सरल समझ में चले गए हैं, लेकिन कम से कम हमारे पास यह समझने में कुछ अंतर है कि संख्या क्या है। जैसे-जैसे हम सीढ़ी पर एक कदम आगे बढ़ते हैं, यह बदलने वाला होता है।
ऐसा करने के लिए, हमें डोनाल्ड नुथ द्वारा प्रस्तुत एक संकेतन पर जाना होगा, जिसे तीर संकेतन के रूप में जाना जाता है। इन पदनामों में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है। जब हम जाते हैं, तो हमें जो संख्या मिलती है वह बराबर होती है। यह उसके बराबर है जहां कुल तीन हैं। हमने अब उन सभी अन्य संख्याओं को बहुत अधिक और सही मायने में पार कर लिया है जिनके बारे में पहले ही बात की जा चुकी है। आखिरकार, उनमें से सबसे बड़े के पास संकेतकों की पंक्ति में केवल तीन या चार पद थे। उदाहरण के लिए, यहां तक कि स्क्यूज़ का सुपर-नंबर "केवल" है - भले ही इस तथ्य के लिए समायोजित किया जाए कि आधार और संकेतक दोनों की तुलना में बहुत बड़े हैं, यह अभी भी एक अरब सदस्यों के साथ संख्या टावर के आकार की तुलना में बिल्कुल कुछ भी नहीं है।
जाहिर है, इतनी बड़ी संख्या को समझने का कोई तरीका नहीं है ... और फिर भी, जिस प्रक्रिया से उन्हें बनाया जाता है उसे अभी भी समझा जा सकता है। हम उस वास्तविक संख्या को नहीं समझ सके जो शक्तियों के एक टावर द्वारा दी गई है, जिसमें अरबों त्रिगुण हैं, लेकिन हम मूल रूप से कई सदस्यों के साथ ऐसे टावर की कल्पना कर सकते हैं, और वास्तव में एक सभ्य सुपरकंप्यूटर ऐसे टावरों को स्मृति में स्टोर कर सकता है, भले ही वह उनके वास्तविक मूल्यों की गणना नहीं कर सकते। ...
यह अधिक से अधिक सारगर्भित होता जा रहा है, लेकिन यह केवल बदतर होता जाएगा। आप सोच सकते हैं कि यह शक्तियों का एक टॉवर है जिसकी घातांक लंबाई है (इसके अलावा, इस पोस्ट के पिछले संस्करण में मैंने ठीक यही गलती की थी), लेकिन यह सरल है। दूसरे शब्दों में, कल्पना करें कि आपके पास ट्रिपल के पावर टावर के सटीक मूल्य की गणना करने की क्षमता है, जिसमें तत्व शामिल हैं, और फिर आपने उस मूल्य को लिया और इसमें कई के साथ एक नया टावर बनाया ... जो यह देता है।
प्रत्येक क्रमागत संख्या के साथ इस प्रक्रिया को दोहराएं ( ध्यान दें।दाईं ओर से शुरू) जब तक आप इसे एक बार नहीं करते हैं, और फिर आप इसे प्राप्त करते हैं। यह एक ऐसी संख्या है जो केवल अविश्वसनीय रूप से बड़ी है, लेकिन कम से कम इसे प्राप्त करने के लिए कदम समझ में आते हैं, अगर सब कुछ बहुत धीरे-धीरे किया जाता है। हम अब संख्या को नहीं समझ सकते हैं या उस प्रक्रिया की कल्पना नहीं कर सकते हैं जिसके द्वारा इसे प्राप्त किया जाता है, लेकिन कम से कम हम मूल एल्गोरिथम को केवल लंबे समय में समझ सकते हैं।
आइए अब मन को वास्तव में इसे उड़ाने के लिए तैयार करें।
ग्राहम की संख्या (ग्राहम)
रोनाल्ड ग्राहम
इस तरह आप ग्राहम नंबर प्राप्त करते हैं, जो कि गिनीज बुक ऑफ वर्ल्ड रिकॉर्ड्स में गणितीय प्रमाण में अब तक की सबसे बड़ी संख्या के रूप में दर्ज है। यह कल्पना करना पूरी तरह से असंभव है कि यह कितना महान है, और यह वास्तव में यह बताना मुश्किल है कि यह क्या है। मूल रूप से, ग्राहम की संख्या हाइपरक्यूब के साथ काम करते समय प्रकट होती है, जो तीन से अधिक आयामों के साथ सैद्धांतिक ज्यामितीय आकार हैं। गणितज्ञ रोनाल्ड ग्राहम (फोटो देखें) यह पता लगाना चाहते थे कि हाइपरक्यूब के कुछ गुण किस छोटी से छोटी संख्या में स्थिर रहेंगे। (इस तरह की अस्पष्ट व्याख्या के लिए खेद है, लेकिन मुझे यकीन है कि हम सभी को इसे और अधिक सटीक बनाने के लिए गणित में कम से कम दो डिग्री पूरी करने की आवश्यकता है।)
किसी भी मामले में, ग्राहम संख्या इस न्यूनतम संख्या के आयामों के लिए ऊपरी सीमा है। तो यह ऊपरी सीमा कितनी बड़ी है? आइए इतनी बड़ी संख्या पर वापस जाएं कि हम इसे प्राप्त करने के लिए एल्गोरिदम को केवल अस्पष्ट रूप से समझ सकें। अब, केवल एक और स्तर तक कूदने के बजाय, हम उस संख्या को गिनेंगे जिसमें पहले और अंतिम तीन के बीच तीर हैं। अब हम इस बात की थोड़ी सी भी समझ से परे हैं कि यह संख्या क्या है, या यहाँ तक कि इसकी गणना करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है।
अब हम इस प्रक्रिया को एक बार दोहराते हैं ( ध्यान दें।प्रत्येक अगले चरण में, हम पिछले चरण में प्राप्त संख्या के बराबर तीरों की संख्या लिखते हैं)।
यह, देवियों और सज्जनों, ग्राहम की संख्या है, जो मानव समझ के बिंदु से अधिक परिमाण के क्रम के बारे में है। यह संख्या, जो किसी भी संख्या से इतनी बड़ी है जिसकी आप कल्पना कर सकते हैं - किसी भी अनंत से कहीं अधिक जिसकी आप कभी भी कल्पना कर सकते हैं - यह केवल सबसे अमूर्त विवरण की भी अवहेलना करता है।
लेकिन यहाँ अजीब बात है। चूंकि ग्राहम की संख्या मूल रूप से आपस में केवल तीन गुना गुणा है, हम वास्तव में इसकी गणना किए बिना इसके कुछ गुणों को जानते हैं। हम किसी भी संकेतन का उपयोग करके ग्राहम की संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं, भले ही हमने इसे लिखने के लिए पूरे ब्रह्मांड का उपयोग किया हो, लेकिन मैं आपको अभी ग्राहम की संख्या के अंतिम बारह अंक बता सकता हूं:। और इतना ही नहीं: हम ग्राहम की संख्या के कम से कम अंतिम अंक जानते हैं।
बेशक, यह याद रखने योग्य है कि यह संख्या मूल ग्राहम समस्या में केवल ऊपरी सीमा है। यह संभव है कि वांछित संपत्ति को पूरा करने के लिए आवश्यक मापों की वास्तविक संख्या बहुत, बहुत कम हो। वास्तव में, 1980 के दशक से, इस क्षेत्र के अधिकांश विशेषज्ञों के अनुसार, यह माना जाता था कि वास्तव में आयामों की संख्या केवल छह है - एक संख्या इतनी छोटी है कि हम इसे सहज रूप से समझ सकते हैं। तब से, निचली सीमा को बढ़ा दिया गया है, लेकिन अभी भी एक बहुत अच्छा मौका है कि ग्राहम की समस्या का समाधान ग्राहम की संख्या जितनी बड़ी संख्या के बगल में नहीं है।
अनन्त तक
तो ग्राहम की संख्या से बड़ी संख्याएँ हैं? बेशक, शुरुआत के लिए ग्राहम नंबर है। जहाँ तक महत्वपूर्ण संख्या का सवाल है ... ठीक है, गणित के कुछ शैतानी जटिल क्षेत्र हैं (विशेष रूप से, कॉम्बिनेटरिक्स के रूप में जाना जाने वाला क्षेत्र) और कंप्यूटर विज्ञान, जिसमें ग्राहम की संख्या से भी बड़ी संख्याएँ होती हैं। लेकिन हम लगभग उस सीमा तक पहुंच गए हैं जो मैं उम्मीद कर सकता हूं कि मैं कभी भी उचित रूप से समझा सकूं। उन लोगों के लिए जो आगे जाने के लिए पर्याप्त लापरवाह हैं, आपके जोखिम पर आगे पढ़ने की पेशकश की जाती है।
खैर, अब डगलस रे को जिम्मेदार एक अद्भुत उद्धरण ( ध्यान दें।ईमानदार होने के लिए, यह बहुत अजीब लगता है):
"मैं अस्पष्ट संख्याओं के समूह देखता हूं जो वहां, अंधेरे में, प्रकाश के एक छोटे से स्थान के पीछे छिपे हुए हैं जो मन की मोमबत्ती देता है। वे एक दूसरे से फुसफुसाते हैं; साजिश कौन जानता है। शायद वे हमें अपने छोटे भाइयों को हमारे दिमाग से पकड़ने के लिए बहुत पसंद नहीं करते हैं। या, शायद, वे बस एक स्पष्ट संख्यात्मक जीवन शैली का नेतृत्व करते हैं, वहां, हमारी समझ से परे ''।
एक बच्चे के रूप में, मुझे सबसे बड़ी संख्या के सवाल से पीड़ा हुई थी, और मैंने लगभग सभी को इस मूर्खतापूर्ण प्रश्न से पीड़ा दी थी। दस लाख की संख्या जानने के बाद, मैंने पूछा कि क्या कोई संख्या दस लाख से अधिक है। अरब? और एक अरब से अधिक? ट्रिलियन? एक ट्रिलियन से अधिक? अंत में, कोई चतुर था जिसने मुझे समझाया कि प्रश्न बेवकूफी भरा है, क्योंकि यह केवल एक को सबसे बड़ी संख्या में जोड़ने के लिए पर्याप्त है, और यह पता चला है कि यह कभी भी सबसे बड़ा नहीं था, क्योंकि और भी संख्याएं हैं।
और अब, कई सालों बाद, मैंने एक और सवाल पूछने का फैसला किया, जिसका नाम है: सबसे बड़ी संख्या क्या है जिसका अपना नाम है?सौभाग्य से, अब एक इंटरनेट है और वे रोगी खोज इंजनों द्वारा हैरान हो सकते हैं जो मेरे प्रश्नों को मूर्खतापूर्ण नहीं कहेंगे ;-)। दरअसल, मैंने यही किया, और परिणामस्वरूप मुझे यही पता चला।
| संख्या | लैटिन नाम | रूसी उपसर्ग |
| 1 | यूनुस | एक- |
| 2 | जोड़ी | जोड़ी- |
| 3 | ट्रेस | तीन- |
| 4 | पते के लिए चार | चतुर्भुज- |
| 5 | quinque | क्विंटी- |
| 6 | लिंग | लिंग- |
| 7 | सितंबर | सेप्टी- |
| 8 | अक्तूबर | अक्टूबर- |
| 9 | नवम | न |
| 10 | decem | फैसले |
संख्याओं के नामकरण की दो प्रणालियाँ हैं - अमेरिकी और अंग्रेजी।
अमेरिकी प्रणाली बहुत सरल है। बड़ी संख्याओं के सभी नाम इस प्रकार बनाए गए हैं: शुरुआत में एक लैटिन क्रमांक होता है, और अंत में प्रत्यय-मिलियन जोड़ा जाता है। एक अपवाद "मिलियन" नाम है, जो एक हजार की संख्या का नाम है (अव्य। सहस्र) और बढ़ते हुए प्रत्यय-मिलियन (तालिका देखें)। इस प्रकार संख्याएँ प्राप्त की जाती हैं - ट्रिलियन, क्वाड्रिलियन, क्विंटिलियन, सेक्सटिलियन, सेप्टिलियन, ऑक्टिलियन, नॉनबिलियन और डेसिलियन। अमेरिकी प्रणाली का उपयोग संयुक्त राज्य अमेरिका, कनाडा, फ्रांस और रूस में किया जाता है। आप साधारण सूत्र 3 x + 3 (जहाँ x एक लैटिन अंक है) का उपयोग करके अमेरिकी प्रणाली में लिखी गई संख्या में शून्य की संख्या का पता लगा सकते हैं।
अंग्रेजी नामकरण प्रणाली दुनिया में सबसे आम है। इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, ग्रेट ब्रिटेन और स्पेन में, साथ ही साथ अधिकांश पूर्व अंग्रेजी और स्पेनिश उपनिवेशों में किया जाता है। इस प्रणाली में संख्याओं के नाम इस तरह बनाए गए हैं: इसलिए: प्रत्यय-मिलियन लैटिन अंक में जोड़ा जाता है, अगली संख्या (1000 गुना बड़ी) सिद्धांत के अनुसार बनाई जाती है - वही लैटिन अंक, लेकिन प्रत्यय है -अरब। यानी अंग्रेजी प्रणाली में एक ट्रिलियन के बाद एक ट्रिलियन होता है, और उसके बाद ही एक क्वाड्रिलियन, उसके बाद एक क्वाड्रिलियन, आदि होता है। इस प्रकार, अंग्रेजी और अमेरिकी प्रणालियों में एक क्वाड्रिलियन पूरी तरह से अलग संख्याएं हैं! आप अंग्रेजी प्रणाली में लिखी गई संख्या में शून्य की संख्या का पता लगा सकते हैं और प्रत्यय-मिलियन के साथ समाप्त होने वाले सूत्र 6 x + 3 (जहाँ x एक लैटिन अंक है) और सूत्र 6 x + 6 द्वारा समाप्त होने वाली संख्याओं का पता लगा सकते हैं। - अरब।
केवल अरबों की संख्या (10 9) अंग्रेजी प्रणाली से रूसी भाषा में पारित हुई, जिसे अभी भी इसे अमेरिकियों के रूप में कॉल करना अधिक सही होगा - एक अरब, क्योंकि यह अमेरिकी प्रणाली है जिसे हमारे देश में अपनाया गया है। लेकिन हमारे देश में नियम के अनुसार कौन कुछ करता है! ;-) वैसे, कभी-कभी ट्रिलियन शब्द का प्रयोग रूसी में भी किया जाता है (आप अपने लिए एक खोज चलाकर देख सकते हैं गूगलया यांडेक्स) और इसका मतलब है, जाहिरा तौर पर, 1000 ट्रिलियन, यानी। क्वाड्रिलियन
अमेरिकी या अंग्रेजी प्रणाली के अनुसार लैटिन उपसर्गों का उपयोग करके लिखी गई संख्याओं के अलावा, तथाकथित ऑफ-सिस्टम संख्याएं भी ज्ञात हैं, अर्थात। संख्याएं जिनके अपने नाम हैं, बिना किसी लैटिन उपसर्ग के। ऐसी कई संख्याएँ हैं, लेकिन मैं उनके बारे में थोड़ी देर बाद विस्तार से बात करूँगा।
आइए लैटिन अंकों का उपयोग करके लेखन पर वापस जाएं। ऐसा लगता है कि वे अनंत तक संख्याएँ लिख सकते हैं, लेकिन यह पूरी तरह सच नहीं है। मुझे समझाएं क्यों। आइए एक शुरुआत के लिए देखें कि 1 से 10 33 तक की संख्याओं को कैसे कहा जाता है:
| नाम | संख्या |
| इकाई | 10 0 |
| दस | 10 1 |
| सौ | 10 2 |
| हज़ार | 10 3 |
| दस लाख | 10 6 |
| एक अरब | 10 9 |
| खरब | 10 12 |
| क्वॉड्रिलियन | 10 15 |
| क्विंटिलियन | 10 18 |
| सेक्सटिलियन | 10 21 |
| सेप्टिलियन | 10 24 |
| ऑक्टिलियन | 10 27 |
| क्विंटिलियन | 10 30 |
| डेसिलियन | 10 33 |
और इसलिए, अब सवाल उठता है कि आगे क्या है। दस लाख के पीछे क्या है? सिद्धांत रूप में, निश्चित रूप से, इस तरह के राक्षसों को उत्पन्न करने के लिए उपसर्गों के संयोजन से संभव है: एंडेसिलियन, डुओडेसिलियन, ट्रेडेसिलियन, क्वाटोर्डेसिलियन, क्विंडेसिलियन, सेक्सडेसिलियन, सेप्टेमडेसिलियन, ऑक्टोडेसिलियन और नोवेमडेसिलियन, लेकिन ये पहले से ही मिश्रित नाम होंगे, लेकिन हम संख्या में रुचि रखते थे। इसलिए, इस प्रणाली के अनुसार, उपरोक्त के अलावा, आप अभी भी केवल तीन उचित नाम प्राप्त कर सकते हैं - विगिनटिलियन (अक्षांश से। विगिन्टी- बीस), सेंटिलियन (अक्षांश से। सेन्टम- एक सौ) और एक लाख (अक्षांश से। सहस्र- हजार)। रोमनों के पास संख्याओं के लिए अपने स्वयं के नामों में से एक हजार से अधिक नहीं थे (सभी संख्याएं एक हजार से अधिक संयुक्त थीं)। उदाहरण के लिए, रोमियों ने एक मिलियन (1,000,000) को बुलाया डेसिस सेंटेना मिलिया, अर्थात्, "दस सौ हजार"। और अब, वास्तव में, तालिका:
इस प्रकार ऐसी प्रणाली के अनुसार संख्या 10,3003 से अधिक होती है, जिसका अपना, गैर-यौगिक नाम होगा, प्राप्त करना असंभव है! लेकिन फिर भी, एक मिलियन मिलियन से अधिक संख्याएं ज्ञात हैं - ये बहुत ही ऑफ-सिस्टम संख्याएं हैं। आइए अंत में आपको उनके बारे में बताते हैं।
| नाम | संख्या |
| असंख्य | 10 4 |
| गूगोलो | 10 100 |
| आसंखेया | 10 140 |
| गूगोलप्लेक्स | 10 10 100 |
| दूसरा तिरछा नंबर | 10 10 10 1000 |
| मेगा | 2 (मोजर संकेतन में) |
| मेगिस्टोन | 10 (मोजर संकेतन में) |
| मोसेर | 2 (मोजर संकेतन में) |
| ग्राहम का नंबर | जी 63 (ग्राहम संकेतन में) |
| स्टैसप्लेक्स | जी 100 (ग्राहम संकेतन में) |
ऐसी सबसे छोटी संख्या है असंख्य(यह डाहल के शब्दकोश में भी है), जिसका अर्थ है सौ सौ, यानी 10,000। हालांकि, यह शब्द पुराना है और व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है, लेकिन यह उत्सुक है कि "असंख्य" शब्द का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जो नहीं करता है मतलब एक निश्चित संख्या, लेकिन चीजों का एक बेशुमार, बेशुमार सेट। ऐसा माना जाता है कि असंख्य शब्द प्राचीन मिस्र से यूरोपीय भाषाओं में आया था।
गूगोलो(अंग्रेजी गूगोल से) संख्या दस से सौवीं शक्ति है, यानी एक सौ शून्य के साथ। गूगोल को पहली बार 1938 में अमेरिकी गणितज्ञ एडवर्ड कास्नर द्वारा स्क्रिप्ट मैथमैटिका के जनवरी अंक में "गणित में नए नाम" लेख में लिखा गया था। उनके अनुसार, उनके नौ वर्षीय भतीजे मिल्टन सिरोटा ने बड़ी संख्या में "गूगोल" बुलाने का सुझाव दिया। यह नंबर उनके नाम पर सर्च किए गए सर्च इंजन की बदौलत प्रसिद्ध हुआ। गूगल... ध्यान दें कि "Google" एक ट्रेडमार्क है और googol एक संख्या है।
जैन सूत्र के प्रसिद्ध बौद्ध ग्रंथ में, जो 100 ईसा पूर्व का है, एक संख्या है आसंखेया(व्हेल से। असेंसी- बेशुमार) 10 140 के बराबर। ऐसा माना जाता है कि यह संख्या निर्वाण प्राप्त करने के लिए आवश्यक ब्रह्मांडीय चक्रों की संख्या के बराबर है।
गूगोलप्लेक्स(इंजी। गूगोलप्लेक्स) एक संख्या है जिसका आविष्कार कासनेर ने अपने भतीजे के साथ किया था और इसका मतलब है कि एक शून्य के गूगोल के साथ, यानी 10 10 100। इस प्रकार कास्नर स्वयं इस "खोज" का वर्णन करता है:
ज्ञान के शब्द बच्चों द्वारा कम से कम जितनी बार वैज्ञानिकों द्वारा बोले जाते हैं। "गोगोल" नाम का आविष्कार एक बच्चे (डॉ. कास्नर के नौ वर्षीय भतीजे) द्वारा किया गया था, जिसे एक बहुत बड़ी संख्या के लिए एक नाम सोचने के लिए कहा गया था, अर्थात् 1 इसके बाद सौ शून्य के साथ। वह बहुत था निश्चित है कि यह संख्या अनंत नहीं थी, और इसलिए समान रूप से निश्चित है कि इसका एक नाम होना चाहिए। उसी समय उन्होंने "गोगोल" का सुझाव दिया, उन्होंने एक और भी बड़ी संख्या के लिए एक नाम दिया: "गूगोलप्लेक्स।" एक गोगोलप्लेक्स की तुलना में बहुत बड़ा है एक गूगोल, लेकिन अभी भी सीमित है, क्योंकि नाम के आविष्कारक ने तुरंत बताया।
गणित और कल्पना(1940) कासनर और जेम्स आर. न्यूमैन द्वारा।
गूगोलप्लेक्स से भी बड़ी संख्या, Skewes "संख्या, को Skewes द्वारा 1933 में प्रस्तावित किया गया था (Skewes. जे लंदन मठ। समाज. 8 , 277-283, 1933।) अभाज्य संख्याओं से संबंधित रीमैन अनुमान को सिद्ध करने में। का मतलब है इसीमा तक इसीमा तक इ 79वीं शक्ति के लिए, अर्थात्, ई ई ई 79। बाद में, रीले (ते रीले, एच.जे. जे. "अंतर के संकेत पर एन एस(एक्स) -ली (एक्स)। " गणित। संगणना। 48 , 323-328, 1987) ने Skewes संख्या को घटाकर e 27/4 कर दिया, जो लगभग 8.185 10 370 है। यह स्पष्ट है कि चूंकि Skuse की संख्या का मान संख्या पर निर्भर करता है इ, तो यह एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए हम इस पर विचार नहीं करेंगे, अन्यथा हमें अन्य गैर-प्राकृतिक संख्याओं - pi, e, अवोगाद्रो की संख्या, आदि को याद करना होगा।
लेकिन यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक दूसरा Skuse संख्या है, जिसे गणित में Sk 2 के रूप में दर्शाया जाता है, जो कि पहले Skuse संख्या (Sk 1) से भी अधिक है। दूसरा तिरछा नंबर, जे. स्क्यूज़ द्वारा उसी लेख में उस संख्या को दर्शाने के लिए पेश किया गया था जिस तक रीमैन परिकल्पना मान्य है। Sk 2 10 10 10 10 3 के बराबर है, यानी 10 10 10 1000.
जैसा कि आप समझते हैं, डिग्रियों की संख्या में जितने अधिक होते हैं, यह समझना उतना ही कठिन होता है कि कौन सी संख्या अधिक है। उदाहरण के लिए, Skuse संख्याओं को देखते हुए, विशेष गणनाओं के बिना, यह समझना लगभग असंभव है कि इन दोनों में से कौन सी संख्या अधिक है। इस प्रकार, बहुत बड़ी संख्या में शक्तियों का उपयोग करना असुविधाजनक हो जाता है। इसके अलावा, आप ऐसी संख्याओं के बारे में सोच सकते हैं (और उनका आविष्कार पहले ही हो चुका है) जब डिग्री की डिग्री पृष्ठ पर फिट नहीं होती है। हाँ, क्या पेज है! वे फिट नहीं होंगे, यहां तक कि एक किताब में भी पूरे ब्रह्मांड का आकार! इस मामले में, सवाल उठता है कि उन्हें कैसे लिखा जाए। समस्या, जैसा कि आप समझते हैं, हल करने योग्य है, और गणितज्ञों ने ऐसी संख्याओं को लिखने के लिए कई सिद्धांत विकसित किए हैं। सच है, इस समस्या के बारे में सोचने वाले प्रत्येक गणितज्ञ ने अपने लेखन के तरीके के साथ आया, जिसके कारण संख्याओं को लिखने के कई असंबंधित तरीकों का अस्तित्व बना - ये नुथ, कॉनवे, स्टीनहाउस आदि के नोटेशन हैं।
ह्यूगो स्टीनहॉस (एच। स्टीनहॉस।) के संकेतन पर विचार करें। गणितीय स्नैपशॉट, तीसरा संस्करण। 1983), जो बहुत सरल है। स्टीन हाउस ने ज्यामितीय आकृतियों के अंदर बड़ी संख्याएँ लिखने का प्रस्ताव रखा - एक त्रिभुज, एक वर्ग और एक वृत्त:
स्टीनहॉस दो नए सुपर-लार्ज नंबर लेकर आए। उसने नंबर पर कॉल किया - मेगाऔर संख्या है मेगिस्टन।
गणितज्ञ लियो मोजर ने स्टेनहाउस के संकेतन को परिष्कृत किया, जो इस तथ्य से सीमित था कि यदि मेगिस्टोन की तुलना में बहुत बड़ी संख्याएँ लिखने की आवश्यकता होती है, तो कठिनाइयाँ और असुविधाएँ उत्पन्न होती हैं, क्योंकि कई मंडलियों को एक दूसरे के अंदर खींचना पड़ता था। मोजर ने सुझाव दिया कि वृत्त नहीं, बल्कि वर्गों के बाद पेंटागन, फिर षट्भुज, इत्यादि। उन्होंने इन बहुभुजों के लिए एक औपचारिक संकेतन भी प्रस्तावित किया ताकि जटिल रेखाचित्रों को खींचे बिना संख्याओं को लिखा जा सके। मोजर का अंकन इस तरह दिखता है:
इस प्रकार, मोजर के संकेतन के अनुसार, स्टीनहाउस मेगा को 2 के रूप में लिखा जाता है, और मेगिस्टन को 10 के रूप में लिखा जाता है। इसके अलावा, लियो मोजर ने एक बहुभुज को मेगा-मेगागोन के बराबर पक्षों की संख्या के साथ कॉल करने का सुझाव दिया। और उन्होंने "मेगगन में 2" संख्या प्रस्तावित की, जो कि 2 है। यह संख्या मोजर संख्या (मोजर की संख्या) के रूप में या बस के रूप में जानी जाने लगी। मोजर.
लेकिन मोजर सबसे बड़ी संख्या भी नहीं है। गणितीय प्रमाण में अब तक उपयोग की जाने वाली सबसे बड़ी संख्या एक सीमित मान है जिसे के रूप में जाना जाता है ग्राहम का नंबर(ग्राहम का नंबर), पहली बार 1977 में रैमसे के सिद्धांत में एक अनुमान को साबित करने के लिए इस्तेमाल किया गया था, यह बाइक्रोमैटिक हाइपरक्यूब से जुड़ा है और 1976 में नुथ द्वारा पेश किए गए विशेष गणितीय प्रतीकों की विशेष 64-स्तरीय प्रणाली के बिना व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
दुर्भाग्य से, नुथ के अंकन में लिखी गई संख्या का अनुवाद मोजर प्रणाली में नहीं किया जा सकता है। इसलिए, हमें इस प्रणाली को भी समझाना होगा। सिद्धांत रूप में, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है। डोनाल्ड नुथ (हाँ, हाँ, यह वही नुथ है जिसने प्रोग्रामिंग की कला लिखी और टीएक्स संपादक बनाया) ने सुपरडिग्री की अवधारणा का आविष्कार किया, जिसे उन्होंने तीरों के साथ लिखने का प्रस्ताव दिया:
सामान्य तौर पर, यह इस तरह दिखता है:
मुझे लगता है कि सब कुछ स्पष्ट है, तो चलिए ग्राहम के नंबर पर वापस जाते हैं। ग्राहम ने तथाकथित जी-नंबरों का प्रस्ताव रखा:
जी 63 नंबर के रूप में जाना जाने लगा ग्राहम नंबर(इसे अक्सर जी के रूप में दर्शाया जाता है)। यह संख्या दुनिया में सबसे बड़ी ज्ञात संख्या है और यहां तक कि गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में भी शामिल है। आह, यह रहा ग्राहम की संख्या मोजर की संख्या से अधिक है।
पी.एस.सभी मानव जाति के लिए महान लाभ लाने और सदियों से प्रसिद्ध होने के लिए, मैंने सबसे बड़ी संख्या के साथ आने और खुद का नाम रखने का फैसला किया। इस नंबर पर कॉल किया जाएगा स्टैसप्लेक्सऔर यह संख्या G 100 के बराबर है। इसे याद करें, और जब आपके बच्चे पूछें कि दुनिया में सबसे बड़ी संख्या क्या है, तो उन्हें बताएं कि इस संख्या को कहा जाता है स्टैसप्लेक्स.
अद्यतन (4.09.2003):टिप्पणियों के लिए सबका शुक्रिया। यह पता चला कि मैंने पाठ लिखते समय कई गलतियाँ कीं। मैं इसे अभी ठीक करने की कोशिश करूंगा।
- मैंने अवोगाद्रो की संख्या का उल्लेख करके एक साथ कई गलतियाँ कीं। सबसे पहले, कई लोगों ने मुझे बताया कि वास्तव में 6.022 · 10 23 सबसे प्राकृतिक संख्या है। और दूसरी बात, एक राय है, और यह मुझे सही लगता है, कि अवोगाद्रो की संख्या शब्द के उचित, गणितीय अर्थ में बिल्कुल भी संख्या नहीं है, क्योंकि यह इकाइयों की प्रणाली पर निर्भर करती है। अब इसे "मोल -1" में व्यक्त किया जाता है, लेकिन यदि आप इसे व्यक्त करते हैं, उदाहरण के लिए, मोल या कुछ और, तो इसे पूरी तरह से अलग संख्या में व्यक्त किया जाएगा, लेकिन यह अवोगाद्रो की संख्या होने से बिल्कुल भी नहीं रुकेगा।
- 10,000 - अंधेरा
100,000 - सेना
1,000,000 - लेओद्रे
10,000,000 - एक कौवा या झूठ
100,000,000 - डेक
दिलचस्प बात यह है कि प्राचीन स्लाव भी बड़ी संख्या में प्यार करते थे और एक अरब तक गिनती करना जानते थे। इसके अलावा, उन्होंने ऐसे खाते को "छोटा खाता" कहा। कुछ पांडुलिपियों में, लेखकों ने "महान स्कोर" पर भी विचार किया, जो 10 50 की संख्या तक पहुंच गया। 10 50 से अधिक की संख्या के बारे में कहा गया था: "और मानव मन इससे अधिक नहीं समझ सकता।" "स्मॉल काउंट" में इस्तेमाल किए गए नामों को "ग्रेट काउंट" में ले जाया गया, लेकिन एक अलग अर्थ के साथ। तो, अंधेरे का मतलब अब 10,000 नहीं था, बल्कि एक लाख, एक सेना का मतलब उनके लिए अंधेरा था (दस लाख); लियोड्र - लीजन ऑफ लीजन्स (10 से 24 डिग्री), आगे कहा गया - दस लियोडर, एक सौ लियोडर, ..., और, अंत में, एक लाख लियोडर लीजन (10 से 47); लियोडर लियोडर (48 में 10) को एक रेवेन और अंत में, एक डेक (49 में 10) कहा जाता था। - संख्याओं के लिए राष्ट्रीय नामों के विषय का विस्तार किया जा सकता है यदि हम संख्याओं के नामकरण की भूली हुई जापानी प्रणाली को याद करते हैं, जो अंग्रेजी और अमेरिकी प्रणालियों से बहुत अलग है (मैं चित्रलिपि नहीं बनाऊंगा, अगर कोई दिलचस्पी लेता है, तो वे हैं):
10 0 - इचि
10 1 - ज्यूउ
10 2 - ह्यकु
10 3 - सेन
10 4 - मनुष्य
10 8 - ठीक है
10 12 - चौ
10 16 - की
10 20 - गइ
10 24 - ज्यो
10 28 - ज्यो
10 32 - कू
10 36 - कानो
10 40 - सेइ
10 44 - साईं
10 48 - गोकू
10 52 - गौगश्यः
10 56 - असौगी
10 60 - नयुत:
10 64 - फुकाशिगियो
10 68 - मुर्यौताईसुउ - ह्यूगो स्टीनहॉस की संख्या के बारे में (रूस में, किसी कारण से, उनका नाम ह्यूगो स्टीनहॉस के रूप में अनुवादित किया गया था)। बोटेव आश्वासन देता है कि हलकों में संख्याओं के रूप में सुपर-बड़ी संख्याएं लिखने का विचार स्टीनहॉस का नहीं है, बल्कि डेनियल खार्म्स का है, जिन्होंने इस विचार को "राइजिंग द नंबर" लेख में कुछ भी नहीं प्रकाशित किया। मैं रूसी भाषा के इंटरनेट पर मनोरंजक गणित पर सबसे दिलचस्प साइट के लेखक एवगेनी स्काईरेव्स्की को भी धन्यवाद देना चाहता हूं - तरबूज, इस जानकारी के लिए कि स्टीनहॉस न केवल मेगा और मेगिस्टन नंबरों के साथ आए, बल्कि एक और नंबर भी सुझाया मेज़ोन, बराबर (इसके अंकन में) "3 एक सर्कल में"।
- अब संख्या के बारे में असंख्यया मायरियोई। इस संख्या की उत्पत्ति के बारे में अलग-अलग मत हैं। कुछ का मानना है कि इसकी उत्पत्ति मिस्र में हुई थी, जबकि अन्य का मानना है कि इसका जन्म केवल प्राचीन ग्रीस में हुआ था। जैसा कि वास्तव में हो सकता है, लेकिन असंख्य लोगों ने यूनानियों की बदौलत प्रसिद्धि प्राप्त की। 10,000 के लिए असंख्य नाम थे, लेकिन दस हज़ार से अधिक की संख्या के लिए कोई नाम नहीं था। हालांकि, "सम्मिट" (अर्थात रेत की पथरी) नोट में, आर्किमिडीज ने दिखाया कि कैसे कोई व्यवस्थित रूप से बड़ी संख्या में निर्माण और नाम दे सकता है। विशेष रूप से, एक खसखस में रेत के 10,000 (असंख्य) दाने रखते हुए, वह पाता है कि ब्रह्मांड में (पृथ्वी के व्यास के असंख्य व्यास के साथ एक क्षेत्र) 1063 से अधिक रेत के दाने फिट नहीं होंगे (हमारे अंकन में)। यह उत्सुक है कि दृश्यमान ब्रह्मांड में परमाणुओं की संख्या की आधुनिक गणना 10 67 की संख्या (बस कई गुना अधिक) की ओर ले जाती है। आर्किमिडीज ने संख्याओं के लिए निम्नलिखित नाम सुझाए:
1 असंख्य = 10 4.
1 d-असंख्य = असंख्यों का असंख्य = 10 8.
1 तीन-असंख्य = di-असंख्य का di-असंख्य = 10 16.
1 टेट्रा-असंख्य = तीन-असंख्य तीन-असंख्य = 10 32.
आदि।
अगर कोई टिप्पणी है -
शब्द का इतिहास
गोगोल ब्रह्मांड के ज्ञात भाग में कणों की संख्या से बड़ा है, जिनमें से, विभिन्न अनुमानों के अनुसार, 10 79 से 10 81 तक हैं, जो इसके उपयोग को भी सीमित करता है।
विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.
देखें कि "गूगल" अन्य शब्दकोशों में क्या है:
Googolplex (अंग्रेज़ी googolplex से) एक संख्या जिसे शून्य के googol के साथ दर्शाया गया है, 1010100. या 1010,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 000 000 जैसे googol, ... विकिपीडिया
यह लेख संख्या के बारे में है। अंग्रेजी पर लेख भी देखें। गूगोल) दशमलव अंकन में एक संख्या जिसे एक इकाई द्वारा दर्शाया जाता है जिसके बाद 100 शून्य होते हैं: 10100 = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 ... विकिपीडिया
- (अंग्रेजी गूगोलप्लेक्स से) गूगोल की शक्ति के दस के बराबर संख्या: 1010100 या 1010,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 000। गूगोल की तरह, शब्द ... विकिपीडिया
इस आलेख में मूल शोध शामिल हो सकता है। स्रोतों में लिंक जोड़ें, अन्यथा इसे हटाने के लिए सेट किया जा सकता है। अधिक जानकारी वार्ता पृष्ठ पर हो सकती है। (मई 13, 2011) ... विकिपीडिया
गोगोल एक मोगुल मिठाई है, जिसके मुख्य घटक चीनी के साथ अंडे की जर्दी व्हीप्ड हैं। इस पेय के कई रूप हैं: शराब, वैनिलिन, रम, ब्रेड, शहद, फल और बेरी के रस के साथ। अक्सर एक इलाज के रूप में प्रयोग किया जाता है ... विकिपीडिया
डिग्री हजार के नाममात्र के नाम बढ़ते क्रम में नाम अर्थ अमेरिकी प्रणाली यूरोपीय प्रणाली हजार 10³ 10³ मिलियन 106 106 अरब 109 109 अरब 109 1012 ट्रिलियन 1012 ... विकिपीडिया
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पुस्तकें
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