ГОРОДСКОЙ КЛАССИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ
РЕФЕРАТ
Математические игры и головоломки
Подготовил:
Петров А. А.,
10Б класс (физ-мат)
г. Кемерово - 1999
Математические игры и головоломки очень популярны, как, впрочем, и все игры. И далеко не всегда более сложная игра – более интересная. Часто миллионы людей с неугасаемым интересом играют в самые простые игры, и именно эти игры больше всего ценят, именно они входят в историю математики и прославляют своих создателей.
Наиболее приближенными к математике являются головоломки, но много головоломок образовалось из когда-то существовавших (а некоторые из ещё существующих) игр. Большинство таких основополагающих игр было придумано древнегреческими математиками.
В последнее время математическим играм внимание уделяется, в основном, для нахождения выигрышных стратегий, на что сильно повлияло распространение программирования: составить алгоритм, по которому в игру смог бы играть компьютер, часто бывает сложнее и интереснее, нежели самому научиться играть в неё, при этом глубже вникаешь в суть игры, после чего выиграть в неё можешь уже практически любого.
Игры
Простейшие математические игры часто используют как задачи, в которых нужно найти выигрышную стратегию, либо одно положение перевести в другое. Иногда задачи бывают весьма простыми, когда они решаются известными методами, такими как инвариант и раскраска, но есть и весьма простые, но до сих пор неразрешённые задачи, связанные с математическими играми.
Примером может являться популярная игра крестики-нолики на бесконечном поле (рендзю). Она, как известно, при правильной стратегии обоих игроков бесконечна, но выигрышную стратегию при этом никто не знает. В настоящее время придумано множество алгоритмов этой игры, основанных, прежде всего, на переборе различных вариантов и анализе игры на следующие несколько ходов, которые очень близки к выигрышной стратегии, но лишь при их реализации на компьютере – человек же им следовать практически не может. Существуют простейшие приёмы этой игры, которыми пользуются игроки, но решающей чаще всего бывает внимательность.
Игра ним и другие аналогичные игры
Существует несколько игр, в которых двое играющих A и B, руководствуясь определёнными правилами, по очереди вынимают то или иное число фишек из одной или нескольких кучек – побеждает тот, кто берёт последнюю фишку. Простейшая такая игра – это игра с одной кучкой фишек, и сделать ход в ней – значит взять из кучки любое число фишек от 1 до m включительно. Многие подобные игры поддаются исследованию с помощью числа Шпрага-Гранди G(C). Пустой позиции O, не содержащей фишек, отвечает G(O)=0. Комбинацию кучек, состоящих соответственно из x, y, … фишек, обозначим C=(x, y, …) и предположим, что допустимые ходы переводят C в другие комбинации: D, E, … Тогда G(C) есть наименьшее неотрицательное число, отличное от G(D),G(E), … Это позволяет по индукции определить G(C) для любой комбинации C, разрешённой правилами игры. Так, в упомянутой задаче G(x)=x mod (m+1).
Если G(C)>0, то игрок, делающий следующий ход, допустим, это игрок A, может обеспечить себе выигрыш, если ему удастся перейти к “безопасной” комбинации S с G(S)=0. Действительно, по определению G(S) в этом случае либо S – пустая позиция, и тогда A уже выиграл, либо B следующим ходом должен перейти к “опасной” позиции U с G(U)>0 – и тогда всё повторяется снова. Такая игра после конечного числа ходов заканчивается победой A.
К подобным играм относится ним . Имеется произвольное число кучек фишек, и игроки по очереди выбирают одну какую-то кучку и вынимают из неё любое число фишек (но хотя бы одну обязательно).
Более общий случай представляет игра Мура , которую также можно назвать k-ним. Правила её те же, что и в обычном ниме (1-ним), но здесь разрешается бать фишки из любого количества кучек, не превосходящего k.
Ещё одна подобная игра – Кегли . В ней фишки разложены в ряд, и при каждом ходе убирается одна какая-либо фишка или две соседние. При этом ряд может разбиться на два меньших ряда. Выигрывает тот, кто возьмёт последнюю фишку. Обобщённая вариация этой игры известна под именем игры Витхоффа .
Есть интересная вариация игры ним под названием “звёздный ним” . Она довольно проста, но стратегия в ней видна не сразу. Играют в эту игру на звездообразной фигуре, изображённой на рис. 1, слева. Поставьте по одной фишке на каждую из девяти вершин звезды. Игроки A и B делают ходы по очереди, снимая при каждом ходе либо одну, либо две фишки, соединённые отрезком прямой. Тот, кто снимает последнюю фишку выигрывает.
У игрока B при игре в звёздный ним есть выигрышная стратегия, использующая симметрию игровой доски (вообще, выигрышные стратегии многих математических игр строятся на этом). Представим, что отрезки прямых, соединяющие вершины звезды, - это нити. Тогда всю конфигурацию можно развернуть в окружность, топологически эквивалентную нитяной звезде. Если A снимает с окружности одну фишку, то B снимает две фишки с противоположного участка окружности. Если A берёт две фишки, то B снимает с противоположного участка окружности одну фишку. В обоих случаях на окружности остаются две группы из трёх фишек. Какую бы фишку (или какие бы фишки) ни взял A из одной группы, B берёт соответствующую фишку (или фишки) из другой группы. Ясно, что последняя фишка достанется игроку B.
Другие математические игры
В конце 60-х годов Дж. Леутуэйт из шотландского города Терсо изобрёл замечательную игру с искусно скрытой стратегией “парных ходов”, обеспечивающей второму игроку заведомый выигрыш. На доске размером 5*5 квадратных клеток в шахматном порядке расставлены 13 чёрных и 12 белых фишек, после чего любая из чёрных фишек, например, стоящая на центральном поле, снимается (рис. 2, слева).
Игрок A ходит белыми фишками, игрок B – чёрными. Ходы делаются по вертикали и горизонтали. Проигравшим считается тот из игроков, кто первым не сможет сделать очередной ход. Если доску раскрасить подобно шахматной доске, то станет ясно, что каждая фишка со своего поля переходит на поле другого цвета и что ни одну фишку нельзя заставить ходить дважды. Следовательно, игра для каждого игрока не может продолжаться более 12 ходов. Но она может окончиться и раньше выигрышем для любого игрока, если только B не будет придерживаться рациональной стратегии.
Рациональная стратегия для игрока В состоит в том, чтобы мысленно представить себе всю матрицу (за исключением пустой клетки), покрытую двенадцатью неперекрывающимися костями домино. Как именно они разложены на доске, не имеет значения. На рис. 2, справа показан один из способов покрытия доски костями домино. Какой бы ход ни сделал игрок А, В просто делает ход на ту кость домино, которую только что покинул А. При такой стратегии у В всегда есть ход после очередного хода А, поэтому Взаведомо выигрывает за 12 или за меньшее число ходов.
В игру Леутуэйта можно играть не только фишками на доске, но и квадратными плитками или кубиками, передвигаемыми внутри плоской коробочки, на дне которой начерчена матрица. Предположим теперь, что в правила игры внесена поправка, позволяющая любому игроку в любое время ходить любым числом (от 1 до 4) фишек, стоящих на одной горизонтали или вертикали, если первая и последняя фишки в выбранной им горизонтали или вертикали “его” цвета. Перед нами великолепный пример того, как тривиальное (на первый взгляд) изменение правила приводит к резкому усложнению анализа игры. Леутуэйту не удалось найти выигрышную стратегию ни для одного из игроков в этом варианте игры.
Большинство игр, рассмотренных нами, имели выигрышную стратегию, но это не значит, что практически у всех подобных игр она существует. Есть множество игр, выигрышную стратегию в которых на сегодняшний день ещё не изобрели, а есть много и таких, у которых таковой вообще нет.
Головоломки
Математические головоломки бывают самые разные: вращательные (кубик Рубика), “Волшебные кольца”, “Игры с дыркой” (пятнашки), решётчатые и многие другие. Мы рассмотрим лишь некоторые из них.
Вращательные головоломки
Вращательными называются головоломки, суть которых заключается в поворотах рядов кубиков (и не только кубиков), из которых они состоят.
Знаменитейшая головоломка нашего времени – кубик Рубика – начала своё победное шествие по свету с 1978 года, когда с ней впервые ознакомились математики на Международном математическом конгрессе в Хельсинки. Лишь несколько кубиков увезли математики с конгресса, но это стало начальным толчком лавинного распространения игрушки по всему миру.
Практически каждый может собрать одну грань кубика Рубика, но чтобы составить его полностью, часто приходится серьёзно задуматься. Собирая первую грань (или первый слой), можно не заботиться об остальных, но когда остаётся поменять местами последние несколько кубиков, очень легко всё испортить и начинать сначала.
Кубик Рубика относится к вращательным головоломкам, отличительной чертой которых является то, что запутать их проще простого, а вот также быстро собирать их умеет далеко не каждый. При запутывании мы действуем как попало и стараемся испортить сразу всё, при сборке же охватить сразу всю картину слишком сложно, нам удобнее продвигаться методично, шаг за шагом, устанавливая сначала один кусочек, подгоняя к нему второй и т. д. По мере выстраивания правильной картины свобода наших действий ограничивается, ведь достигнутое надо на последующих шагах сохранять. А ближе к концу сборки очередные продвижения уже невозможны без жертв, – мы вынуждены на время отдавать завоёванное с тем, чтобы вернуть его с прибылью. Здесь уже требуются специально разработанные операции, можно назвать их “локальными” или “минимальными”, которые вносят в расположение элементов головоломки самые малые изменения, например, переставляют два-три элемента или переворачивают их. При этом “минимальные” не значит “маленькие” - обычно они состоят из довольно большого числа ходов.
Рассмотрим алгоритм собирания вращательных головоломок на примере кубика Рубика.
Формулы операций в “кубике Рубика”
При использовании “минимальных” операций возникает естественный вопрос: как их систематизировать или сформулировать, чтобы ими удобно было пользоваться при собирании кубика. Прежде всего, перед тем, как воспользоваться той или иной уже разработанной операцией, следует как-то обозначить грани кубика, относительно которых их проводить. Стандартные их названия: фасад, тыл, лево, право, верх, низ. А обозначения соответственно: Ф, Т, Л, П, В, Н. Любую формулу операций можно выполнить с помощью поворотов боковых или центральных граней кубика. Один поворот грани по часовой стрелке обозначается так же, как и сама грань (Ф, Т и т. д.). Если грань поворачивают против часовой стрелки, то к обозначению этого действия приписывают знак ’ (Ф’, Т’ и т. д.). Понятно, что два поворота по часовой стрелке идентичны двум поворотам против, а следовательно обозначаются они одинаково: знаком 2 . (Ф 2 , Т 2 и т. д.). С помощью этой системы обозначений можно сформулировать лишь повороты боковых граней, для центральных же обозначения показаны на рисунке 3.
Ниже приведён список самых распространённых “минимальных” операций, которыми пользуются при собирании кубика Рубика. Следует заметить, что это лишь универсальные комбинации, а для создания более совершенного алгоритма собирания кубика, нужно разработать более “глобальные” операции, которые человеку запомнить довольно трудно, но в общем уменьшающие количество действий, необходимых для собирания кубика из каждого конкретного положения.
Первый слой
Операция “лесенка” (лифт) 2:НЛН ’Л ’
Две лесенки 1:НЛН’Л’Н’Ф’НФ
Выполняются только по две комбинации с поворотом верхней грани между ними:
(ПСн) 4
(Ф ’ПФП ’) 2
(ПФ ’П ’Ф) 2
“Игры с дыркой”
До изобретения кубика Рубика для многих людей знакомство с головоломками начиналось с “пятнашек” – так часто называют известную игру “15”.
С пятнашек начинается история игр с дыркой – головоломок, в которых фишки перемещаются по игровому полю за счёт того, что одно из мест на поле свободно. У “пятнашек” есть множество родственников, которые как раз и образовывают целый раздел этих головоломок.
Игру “15” придумал в 70-х годах XIX-го века прославленный американский изобретатель головоломок Сэмюэль Лойд. Время появления его игрушки и известного всем кубика Рубика разделяют ровно сто лет. Любопытно, что возраст обоих изобретателей, когда они придумали свои знаменитые головоломки, был одинаков – немногим больше тридцати. До “пятнашек” никакая другая головоломка таким успехом не пользовалась.
Великий Марк Твен, будучи современником Лойда и свидетелем всеобщего ажиотажа вокруг игры “15”, включил в свою сатирическую повесть “Американский претендент” изложение сообщения, якобы переданного агентством “Ассошиэйтед пресс”, в котором говорилось, что “за последние несколько недель вошла в моду новая игрушка-головоломка... и что от Атлантического океана до Тихого все население Соединенных Штатов прекратило работу и занимается только этой игрушкой; что в связи с этим вся деловая жизнь в стране замерла, ибо судьи, адвокаты, взломщики, священники, воры, торговцы, рабочие, убийцы, женщины, дети, грудные младенцы,- словом, все с утра до ночи заняты одним-единственным высокоинтеллектуальным и сложным делом... что веселье и радость покинули народ,- на смену им пришли озабоченность, задумчивость, тревога, лица у всех вытянулись, на них появились отчаяние и морщины - следы прожитых лет и пережитых трудностей, а вместе с ними и более печальные признаки, указывающие на умственную неполноценность и начинающееся помешательство; что в восьми городах день и ночь работают фабрики, и все же до сих пор не удалось удовлетворить спрос на головоломку”.
Вскоре после своего появления на свет коробочка с цифрами 15 на крышке пересекла океан, быстро распространилась во всех европейских странах и поучила новое имя “такен”. Изобретателю посчастливилось найти ту неуловимую меру сложности, когда головоломка решалась без труда почти всеми и в то же время требовала определённой сообразительности, благодаря чему каждый мог получить удовольствие от сознания своего высокого интеллектуального уровня.
|
Помещая это объявление, Лойд знал, что ничем не рискует, так как предлагает неразрешимую задачу. Эта задача ещё сыграла с изобретателем злую шутку, когда он пытался запатентовать свою игру, – ему сказали, что нельзя запатентовать игру, не имеющую решения.
Секрет игры “15”
Не всегда можно головоломку перевести из одного состояния в другое, - запрещены такие переходы, при которых нарушаются те или другие законы сохранения. Есть такой закон и в игре “15”. Чтобы объяснить его, мысленно заполним пустое место фишкой с номером 16. Тогда каждый ход - сдвиг фишки - будет состоять в том, что эта фишка меняется местами с фишкой 16. Операцию, при которой какие-то две фишки (не обязательно соседние!) меняются местами, так и назовем - обменом; математический термин для таких операций - транспозиция. Очевидно, что из любой расстановки 16 фишек можно не более чем за 15 обменов получитьправильную позицию - обозначим ее S 0 - и вообще любую другую расстановку. При этих обменах не запрещается вынимать фишки из коробки. Например, можно сначала поставить на свое место фишку 1, обменяв ее с той фишкой, которая это место занимает, затем точно так же поставить на место фишку 2 и т. д. Последними мы обменяем фишки 15 и 16 - при этом сразу обе встанут правильно. Конечно, не исключено, что по ходу дела какие-то фишки автоматически попадут на свои места, и их трогать не придется, при этом число обменов окажется меньше 15. Можно расставлять фишки по этой же системе, но в другом порядке, скажем 16, 15, 14, .... или совсем иначе, и тогда число обменов может оказаться другим. Однако, каким бы способом ни выбрать последовательность обменов, превращающую одну заданную расстановку фишек в другую, четность числа обменов в этой последовательности всегда будет одной и той же.
Это очень важное и неочевидное докажем ниже. Оно позволяет дать следующее определение: расстановка называется четной, если ее можно превратить в правильную позицию с помощью четного числа обменов, и нечетной в противном случае. В математике обычно говорят не “расстановка”, а “перестановка”; к этому мы еще вернемся. Сама правильная расстановка S 0 всегда четная , а ловушка Лойда L нечетная . Но почему они не переводятся друг в друга?
Как выше уже сказано, каждый ход в игре “15” можно рассматривать как обмен фишки с одной из соседних. Следовательно, при каждом ходе четность расстановки 16 фишек меняется: если до хода расстановку можно было упорядочить за N обменов, то после него - за N+1 обменов (взяв этот ход назад), а числа N и N+1 - разной четности. В обеих расстановках классической задачи Лойда дырка (или фишка 16) расположена одинаково. Если бы мы сумели одну расстановку перевести в другую, то фишка 16 должна была совершить столько же ходов вверх, сколько вниз, и столько же ходов вправо, сколько влево, иначе она не вернулась бы назад. Поэтому мы сделали бы четное число ходов, а так как при каждом ходе четность расстановки меняется, в начале и в конце она была бы одинаковой. Но позиции S 0 и L, как мы видели, имеют разную четность.
Мы рассмотрели лишь малую часть замечательных головоломок, которые придумали математики разных времён, но если когда-нибудь ещё и изобретут головоломку более популярную, чем, например, игра “15”, то известней знаменитого кубика Рубика наверняка – нет!
Список литературы
1. Я. И. Перельман “Занимательная математика”
2. Мартин Гарднер “Путешествие во времени”. – Москва, “Мир”, 1990
3. У. Болл, Г. Коксетер “Математические эссе и развлечения”. – Москва, “Мир”, 1986
4. В. Н. Дубровский, А. Т. Калинин “Математические головоломки”. – Москва, “Знание”, 1990
5. “Математический цветник” (составитель и редактор Д. А. Кларнер). – Москва, “Мир”, 1983
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В математике есть своя красота, как в
живописи и поэзии.
(Н.Е. Жуковский)
1. Введение.
В этом году я перешла из начальной в основную школу. Учиться в 5 классе очень интересно, но, разумеется, сложнее, чем в начальных классах. Произошло много изменений и к тем предметам, которые мы изучали, добавились новые.
Математика изучается в школах с 1 по 11 класс. Я и мои одноклассники любят этот предмет. Все изучают математику с удовольствием, и каждый урок стремятся открыть для себя что-то новое. Мы участвуем в чемпионатах и олимпиадах по этому предмету, а некоторые ученики даже посещают математический кружок. Математика - мой самый любимый урок, и поэтому когда нужно было выбрать учебный предмет, по которому я буду разрабатывать исследование, долго думать не пришлось.
Математика - серьезная и точная наука. Но мне хотелось провести не только научное, но и действительно интересное для меня исследование. Иными словами и познавательное и развлекательное. Но что же может объединить серьезную научную дисциплину и развлечения? - Математические игры.
Математические игры - это строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей игроков для каждой комбинации стратегий.
Обычно мы играем в математические игры с развлекательной целью, но без определенного плана победить не просто. Для этого и нужна стратегия - порядок действий, который точно приведет к выигрышу. Так связаны игры и математика.
Сейчас сфера математических игр хорошо развивается и, наверное, все хотят успешно решать подобные задания в олимпиадах и на уроках, поэтому я считаю свое исследование актуальным и результативным
Я решила поподробнее изучить математические игры и попробовать самой составить к некоторым из них стратегию выигрыша.
Объект исследования : математические игры.
Предмет исследования : стратегии математических игр
Цель моей работы: изучение математических игр, обучение составлению стратегий к играм.
Задачи, над которыми я работала:
1. Познакомиться с историей появления математических игр и подумать, чем же они полезны.
2. Узнать, какие типы математических игр существуют
и как их различать
3. Узнать, если какая-нибудь научная теория относительно математических игр.
4. Уточнить смысл термина «стратегия», «инвариант».
5. Понять, как составляются стратегии к определенным типам математических игр.
6. Составить стратегии к играм разного типа.
7. Обобщить полученную информацию и представить результат исследования в виде буклета.
Гипотеза: если я внимательно изучу методы нахождения стратегий и типы математических игр, научусь различать типы игр, то возможно смогу достичь своей цели.
Новизна: для меня нахождение стратегий для математических игр - это новый вид деятельности.
Методы исследования: размышления, поиск информации в Интернете, в специальной литературе, практический метод, анализ результатов.
2.Основная часть.
2.1. История появления математических игр.
Открыв интернет, я узнала, что некоторые математические игры появились еще в древности. Создавали такие игры еще древнегреческие математики.
А вот происхождение определенных игр до сих пор остается тайной. Например, о том, как появились всем известные крестики-нолики, бытует множество мнений. По одной из версий их случайно изобрел неизвестный французский математик, решая трехуровневую систему уравнений, по другой - крестики-нолики появились в Индии около 2000 лет назад.
Множество математических игр было изобретено в периоде 12 - 20 веков. Так, Леонардо Пизано в 1202 г. изобрел математическую игру «Баше» (современное название - «Ним»). Баше - математическая игра, в которой два игрока из кучки, содержащей первоначально N предметов, по очереди берут не менее одного и не более М предметов. Проигравшим считается тот, кому нечего брать.
Названа игра в честь французского поэта и математика Баше де Мезирьяка, который предложил её в своей книге «Занимательные и приятные числовые задачи», вышедшей в 1612 г.
В 1975 г. был запатентован всем известный «Кубик Рубика». Эта игра-головоломка была изобретена венгерским скульптором и преподавателем архитектуры Эрнё Рубиком в 1974 г. Примечательно то, что сам Рубик так и не научился быстро поворачивать грани куба до нужного положения.
А в 1979 году появилась одна из популярнейших математических игр - судоку. Автором головоломки был Гарвард Гарис. Он использовал принцип латинского квадрата Эйлера, применил его в матрице размерностью 9х9 и добавил дополнительные ограничения, цифры не должны повторяться и во внутренних квадратах 3х3.
Я рассказала вам о том, как появились некоторые известные математические игры и, к сожалению, еще многое о происхождении этой сферы математики остается загадкой, ведь возможно, многие верные рассуждения по созданию математических игр забывались, не патентовались или же на них просто не обращали внимание. Но, исходя из полученной мной информации, можно сделать вывод: математические игры и в качестве развлечения на досуге, и в качестве серьезных тем для научных открытий были популярны во все времена.
2.2. Полезность математических игр.
Это конечно хорошо, что ученые придумывают новые и новые математические игры. Несомненно, это помогает в решении других математических задач, может послужить темой для научных открытий и выполнять другие важные глобальные роли. Но как умение составлять стратегии к играм и само умение играть может помочь в жизни обычных школьников?
Для начала я разобралась, с какими науками тесно связано умение играть в такие игры. Оказалось, что чаще всего методы стратегий в математических играх находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике. Доказать это можно тем, что математика сама по себе приводит ум в порядок, а интересная задача может помочь расслабиться и отвлечься от внешних проблем, а значит - расслабить нашу психику. Также психологи и социологи должны рассматривать самые выигрышные и точные пути для того чтобы правильно поставить вопрос или помочь пациенту. В экономике и политологии умение действовать по плану тоже высоко ценится, ведь нужно правильно рассчитать бюджет или уметь наладить отношения между странами.
Информацию я получила, но ведь это опять же глобальные проблемы. Тогда какое же имеет отношение умение составлять стратегии к ученикам?
Возьмем самый банальный случай. Родители дали мне
определенную сумму денег на то, чтобы питаться всю неделю в
школьной столовой выбирая блюда по своему усмотрению.
Естественно, если я в первый же день накуплю кучу вредной и
дорогой еды, то, скорее всего у меня заболит живот от
неправильного питания, да и в следующий раз мне может не хватить на действительно полезное и вкусное блюдо, или если я сильно проголодаюсь. Но если я грамотно распределю свои затраты на еду каждый день, то, возможно в конце недели у меня останутся еще деньги. Второй вариант и будет являться в данном случае верной стратегией.
Другой пример: нужно пересказать большой текст на оценку. Если я начну нервничать и зазубривать, то, скорее всего у меня ничего не выйдет. Если же для начала составить план текста, поделив его на части, выбрать из каждой части основное, и, понимая, о чем идет речь прочитать его, а потом попробовать рассказать, о чем был текст, то у меня получится передать главную мысль, а значит пересказать. Второй случай - верная стратегия.
Так же можно выделить и следующие цели применения математических игр:
Развитие мышления;
Углубление теоретических знаний;
Самоопределение в мире увлечений и профессий;
Организация свободного времени;
Общение со сверстниками;
Воспитание сотрудничества и коллективизма;
Приобретение новых знаний, умений и навыков;
Формирование адекватной самооценки;
Развитие волевых качеств;
Контроль знаний;
Мотивация учебной деятельности и др.
Итак, я разобралась, как знание и умение правильно составлять стратегии помогает в разных повседневных жизненных ситуациях, а начинать учиться этому лучше всего на примере математических игр.
2.2. Типы математических игр и их особенности.
Все математические игры разные. Даже на первый взгляд можно отличить игру-головоломку от игры-шутки.
На самом деле математических игр гораздо больше, чем мы думаем и для того, чтобы уметь их различать ученые решили классифицировать игры по типам стратегий, форме игры, правилам и т.д.… И сейчас я расскажу вам о том, какие типы игр различают математики.
Математические игры делятся на 4 основные группы: игры с инвариантом, игры на доведение до числа, игры-шутки, игры на симметрию.
Игры с инвариантом включают в себя какое-нибудь неизменяемо свойство предмета. Если вычислить его, то можно будет легко найти стратегию или правильно ответить на вопросы, если это задача.
Стратегия игр на доведение до числа заключается в приведении всех ходов к контрольному числу, имеющему какое-то особенное свойство. После этого действия выиграть становится легко.
В игре-шутке победить очень просто, ведь ее стратегия часто скрывается в последовательности и числе ходов, количестве частей и других подобных им факторов.
А чтобы победить в игре на симметрию нужно повторять все действия соперника в зеркальном отражении. При этом используется следующее правило: если соперник может поставить точку в тетрадной клетке, то я могу поставить точку в клетке напротив.
Знание типа выбранной игры очень хорошо помогает при поиске стратегии для нее.
2.5. Значение термина «стратегия»
Теперь я знаю о математических играх достаточно, чтобы успешно продолжать свое исследование. Для того чтобы начинать строить какие-то предположения по поводу нахождения стратегий, мне, собственно говоря, нужно сузить понятие «стратегия к игре» и более точно понимать, что это такое. Для того чтобы узнать смысл данного термина я воспользовалась разными словарями: «Словарь Ефремовой», «Словарь Ушакова», «Словарь Ожегова». Все определения к термину «стратегия» имеют общий смысл, и, проанализировав их, я смогла составить свое верное, лаконичное понятие.
Стратегия - это искусство планирования руководства, основанного на правильных, точных и далеко идущих прогнозах.
Термин инвариант означает свойство объекта, не изменяемое на протяжении всей игры.
2.6. Освоение составления стратегий
Для того чтобы начать подбирать стратегии мне нужно выдвинуть гипотезу, каким образом это можно делать.
Предположим, что для подбора стратегий мне необходимо будет сыграть несколько партий «в проигрыш», внимательно наблюдая за ходами противника, и подмечая все нюансы. Затем попробовать понять, почему выигрывает противник, и как это можно применить мне. После этого проверить свои рассуждения на практике.
Но откуда я смогу выбирать игры для своего исследования? Источник у меня есть - это приложение, которое все пятиклассники нашей школы установили дома на компьютер. На диске много полезной информации: тесты, тренажеры, головоломки, упражнения. И игры там тоже есть.
2.7. Составление стратегий к играм разного типа
Итак, я начала свое исследование. Выбрала игру понравившеюся мне и определила ее тип. Игра называется «Спички». Правила игры: на столе лежат N спичек. Два игрока берут по очереди от 1 до 4 спичек. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю. Эта игра на доведение до числа, так как в ней ограничено количество спичек, которые можно взять. То есть, за партию ходов компьютера мы можем получить достаточно необходимой информации. Я поняла, что суть этой игры - нахождение контрольного числа. Это число 5, так как всегда будет остаток, сколько бы мы не брали спичек. Значит, нужно довести количество спичек до числа 5. Нужно посчитать количество спичек: если оно делится на 5, то первый ходит компьютер, а мы будем дополнять его ходы до контрольного числа. В обратном случае мы убираем остаток от деления. Таким образом, можно выиграть при любом количестве спичек.
Еще один пример - игра-шутка «Шоколадка». Правила: шоколадку с m долек нужно разломить так, чтобы вам достался последний разлом. Надо посчитать все кусочки, вычесть 1 (так как на каждые 2 кусочка приходится 1 разлом), если число четное - первый ходит компьютер, если число нечетное - первым ходите вы.
Следующий пример - игра «Кони». Правила игры: на шахматной доске размера M на N нужно ставить коней так, чтобы они не находились под боем. «Кони» - игра на симметрию, так как в ней нет чисел (доведение до числа), нет вообще каких-либо свойств кроме того, что конь ходит буквой «Г» (инвариант), правила довольно просты и в них ничего не скрыто (игра-шутка). Стратегия зкалючается в виде симметрии. Если есть возможность сделать ход в центр доски, то вы делаете этот ход. Если нет, то первым ходит противник, а вы действуете по правилам осевой симметрии.
Игра «На мелкие кусочки». Вначале игроки загадывают каждый по 1 числу. Листок разрывается на N кусков. Затем один из получившихся кусков разрывают еще на N кусков. Побеждает игрок если, разрывая лист таким образом можно получить число, которое он загадал вначале. Можно заметить, что при каждом разрывании на кусочки добавится столько кусочков, сколько было добавлено вначале. Это и есть инвариант. То есть из N нужно вычесть 1 и мы узнаем на сколько увеличивалось количество кусков с каждым разом. Затем из загаданного числа нужно вычесть так же 1, потому что вначале был 1 кусочек и мы узнаем сколько добавилось за все ходы. После этого проверяем делится ли полученное число на N-1. Разумеется, если это возможно то возможно и получить в процессе разрывания загаданное число.
Таким образом, я научилась составлять стратегии к математическим играм.
Заключительная часть
Планирование буклета.
Еще одной моей целью было создание буклета со всей необходимой информацией для побед в играх. Он нужен для рекламы, так как мало кто занимается математическими играми и для того, чтобы можно было находить стратегии с его помощью. Я создала структуру буклета и включила в нее все важные данные: значение термина стратегия, типы математических игр и алгоритм составления победного плана действий. Также я сделала свою эмблему и поместила ее на буклет.
Создание задачника.
После того, как я узнала все, что нужно о стратегиях и математических играх, я создала мини-книгу о математических играх. Сначала я разработала дизайн обложки и поместила на обложку свою эмблему. Затем включила в книгу обращение к читателям, некоторые исторические сведения о математических играх, значение терминов «стратегия» и «инвариант», алгоритм составления стратегии, 50 задач к играм сгруппированные по разделам и 10 дополнительных задач. В конце книги я указала ответы на задания.
Вывод
В дальнейшем, может быть, я продолжу эту работу для того, что бы искать стратегии для игр большей сложности совершенствования своих знаний о математических играх. Я думаю, что достигла своей цели, так как научилась создавать стратегии к играм и различать типы математических игр. Работа над проектом показала мне, что абсолютно в любой игре можно победить и из любой ситуации можно найти выход, если действовать в соответствии со стратегией. Мне понравилось исследовать стратегии, так как это очень интересно, развивает логику, и исход игры зависит только от моего хода мыслей.
Информационное обеспечение
Медиа ресурсы:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%E8%E3%F0#.D0.9F.D1.80.D0.B5.D0.B4.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.B2.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.B8.D0.B3.D1.80
https://docviewer.yandex.ru/?uid=164720630&url=ya-mail%3A%2F%2F2300000003632316382%2F1.2&name=вывод.doc&c=54b68a93598f
http://yandex.ru/images/search?text=яндекс+картинки
http://tolkslovar.ru/s12967.html
Дополнительная литература:
А. С. Мерзляков. «Математика». Факультативный курс, 1 год обучения.
Учиться легче, веселее и намного более эффективно теперь реально благодаря новым технологиям и развитию онлайн методов! Увлекательные математические игры – отличный способ превратить трудный в освоении материал в весёлую забаву. Игры математика способны даже чистого гуманиматия заставить не только понять, но и полюбить счёт – и всё это без каких-либо усилий! А главное – никакого принуждения: головоломки и виртуальные уроки настолько интересны, что даже нерадивые ученики будут заниматься с огромным удовольствием.
Весёлые уроки
Первой, и наиболее очевидной, формой онлайн-развлечения, посвящённого учёбе, является виртуальный класс, в котором в роли учителя выступает любимый персонаж.
Даша Следопыт и в своих передачах любит обращать внимание детворы на то, как важно всё знать и уметь, а сейчас, стоя у доски, она убедительна как никогда! Упражнения на сложение, вычитание, умножение и деление сопровождаются забавными картинками, изображающими приключения Даши, а в конце ученик получит оценку, соответствующую его знаниям. Осторожно: чтобы решать примеры, школьнику нужно уже быть знакомым с отрицательными числами!
А вот София Прекрасная для игры математика специально для девочек приготовила тест, в котором нужно в каждой задачке выбрать, верно ли решение. Проверить себя очень просто: счётчик ответов, в зависимости от результата, увеличивается на единичку немедленно после того, как сделан выбор. По такому же точно принципу организован и тест, который составила красотка Барби. Такие математические игры учат не только считать без ошибок, но и быстро думать, ведь время на ответ ограничено!
А если требуется тренировка определённой математической операции - например, подтянуть навык сложения или деления – то за помощью стоит идти к Белой Кошке. Пушистая мурлыка – строгий преподаватель. Она требует за ограниченное время успеть правильно решить задание и выбрать необходимый ответ из четырёх представленных на выбор.
Цифры и жизнь
Решать примеры – это хороший способ научиться быстро складывать, однако часто кажется, что это занятие бесполезно, и в будущем не пригодится. Как же не пригодится, если в нашем мире и шагу нельзя ступить без математики, и приключенческие игры про неё это только доказывают!
Экипаж, участвующий в бою На танках, вынужден постоянно обдумывать сложные задачи, особенно тогда, когда речь идёт о том, чтобы стрелять самим или рассчитывать, как объезжать вражеские снаряды. В упрощенном виде этот процесс представляет игра Математика на танках, играть в которую можно на этой страничке. Неправильное решение приведёт к взрыву и гибели личного состава, и только игрок, умеющий считать, поможет спастись от неминуемого!
В играх школьнику придётся побеждать задачки по математике, чтобы добыть конфеты, справиться с пчёлами или доставить пиццу к правильному столику. Без арифметики стрела на турнире не достигнет цели, а космические ракеты не взлетят. Впрочем, полезно знать, что без решения специальных задач (только намного более сложных, чем проходят во втором классе!) ракета и правда не взлетит – но это уже совсем другая история…
Умницы и умники, приглашаем присоединиться в клуб математических игр, которые отлично тренируют мозг. Они не предполагают бездумного времяпровождения, а наоборот - заставляют вас думать и развивать умственные способности. Как известно, математика развивает мышление, память, помогает в решении бытовых задач и просто необходима в жизни каждого человека.
Даже если многие это понимают, не всем с легкостью поддается данная наука. И тут вам поможет практика и только практика. Одним из способов проведения досуга с пользой и интересом, являются математические игры. Чтобы каждый игрок, в любое время мог проверить свои умственные способности, мы собрали коллекцию логических игр в одном месте.
Не думайте, что математика - это скучно. Если относится к учебе как к игре, то все получается проще и веселее. Тут есть игры как для самых маленьких умов, которые только начинают знакомство с точной наукой, так и для взрослой аудитории. Например, детки могут научиться считать играючи, при помощи красочных карточек и интересных заданий. Поклонники логической игры Маджонг могут посмотреть на данный пасьянс с другой стороны, в игре Математический Маджонг. Также вы можете почувствовать себя секретным агентом, в работе которых математика также играет важную роль. Тренируйте логическое мышление, ведь как ни крути, а математика вам пригодятся в жизни.
Игра «Что? Где? Когда?»
«Трудных предметов нет, но есть бездна вещей, которых мы
просто не знаем...»
А И Герцен
Аннотация :
В игре принимает участие учащиеся 5- 9 классов.
Игра основана на соревновании классов в параллели. В каждом классе выбирается команда по 6 человек, которые непосредственно принимают участие в игре.
Остальные учащиеся классов составляют группы поддержки своих команд.
В игре задействованы 4 учителя для ведения учета очков команд по каждому вопросу.
Ученикам необходимо придумать название своей команды.
Ведущий мероприятия – учитель математики.
Цели мероприятия:
Повышение познавательного интереса к предмету математики.
Способствовать воспитанию "чувства локтя" и дружбы среди учащихся.
Способствовать побуждению каждого учащегося к творческому поиску
размышлениям, раскрытию своего творческого потенциала.
Способствовать развитию кругозора учащихся, математической речи и грамотности.
Правила игры.
Игра состоит из 9 раундов и 3 пауз.
В каждом раунде знатокам предлагается вопрос из сектора, выпавшего на игровом столе.
После обдумывания капитан называет имя игрока, который будет давать ответ.
Если команда отвечает сразу, то время остается в запасе, и команда может взять дополнительно в любом раунде.
Если команда дает правильный ответ, то ей засчитывается одно очко.
Есть у меня шестерка слуг,
Проворных, удалых.
И все, что вижу я вокруг,
Все знаю я от них.
Они по знаку моему
Являются в нужде.
Зовут их: Как? и Почему?
Кто? Что? Когда? и Где?
Выбор команды.
Задание. Петух стоя на одной ноге весит 5 кг. Сколько он будет весить, если встанет на 2 ноги? (5кг)
Раунд 1. Уважаемые эрудиты! Разрешите предложить вам небольшую логическую задачу. Математик оказавшись случайно в небольшом городе и желая хоть как-то убить время решил подстричься. В городке имелось лишь 2 мастера (у каждого из них своя парикмахерская). Заглянув к одному мастеру, математик увидел, что в салоне грязно, сам мастер одет неряшливо и небрежно подстрижен. В салоне другого мастера было идеально чисто, а владелец его был безукоризненно одет и аккуратно подстрижен. Поразмыслив, математик отправился стричься к первому мастеру. Уважаемые знатоки! Не можете ли вы объяснить причину столь странного на первый взгляд решения математика? (2мин.)
Ответ. Поскольку в городке лишь 2 парикмахера, каждый мастер вынужден стричься у другого. Математик выбрал того мастера, кто лучше подстриг своего конкурента.
Раунд 2. Уважаемые эрудиты! Известно, что вес тела на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле. Представьте себе, что вам предложено отправиться на Луну и проверить этот факт экспериментально. Какое оборудование вы возьмете с собой? (3 мин)
Ответ. Нужно взять тело, вес которого известен на Земле и пружинные весы (динамометр).
Чашечные весы не годятся.Их показания на Земле и на Луне будут одинаковыми сами гири. «Уменьшатся в весе 6 раз».
Раунд 3. Уважаемые эрудиты! Решите пожалуйста такую задачу «Когда отцу было 27 лет, сыну 3 года, а сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сыну и отцу? (3мин)
Ответ. 3х – количество лет отцу Х - количество лет сыну. Разница 27-3=24
Уравнение 3х-х=24 →х=12; 3х=36 (12 лет и 36)
Пауза 1. Конкурс болельщиков «Шагай-соображай»
Выходят 2 учащихся.
1.Все делают первые шаги и в это время ведущий называет число (например, 6 и 7). При следующих шагах назвать числа, кратные 6 и 7.
Кто больше сделает шагов?
2.Называть слова, относящиеся к математике, в которых есть буква «Р» или «Н».
Раунд 4. Уважаемые знатоки! Я хочу рассказать вам одну старинную историю. В шляпную лавку вошел господин средних лет и объявил, что желает купить шляпу за 30 рублей. Свою покупку он оплатил 100 рублевой банкнотой. У хозяина лавки не было сдачи, он послал приказчика в соседний магазин разменять банкноту. Когда приказчик вернулся, покупателю была выдана понравившаяся ему шляпа, 70 рублей сдачи, и он удалился. Примерно через час прибежал хозяин соседнего магазина, сообщил что 100 рублевая банкнота оказалась фальшивой и потребовал, взял ее назад.
Ничего не оставалось, как выплатить соседу 100 рублей настоящих денег. Вечером опечаленный хозяин лавки сел подсчитывать убытки.
Помогите ему уважаемые знатоки и скажите: сколько всего рублей от потерял в этот день? (4мин)
Ответ. 100 рублей: он потерял шляпу за 30 рублей и сдачу 70 рублей. Других убытков нет.
Раунд 5. В шахматном турнире участвовали 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли?
Ответ. Каждый шахматист сыграл 6 партий, всего 21 партии.
Раунд 6. Уважаемые эрудиты! На уроках геометрии при решении задач связанных с окружностью, обычно указывают, чему равен радиус окружности. А вот на технических чертежах и эскизах обязательно наносят диаметры окружностей, а не радиусы. Можете ли вы объяснить причину этот явления? (3 мин)
Ответ. При вычеркивании окружности надо знать ее радиус, но в готовой детали проще замерять диаметр окружности. Кроме того, большинство отверстий получают путем сверления, а для этого надо знать диаметр сверла, а не его радиус.
Пауза 2. Каждой руке - свое дело.
Играющим дают лист бумаги и в каждую руку по карандашу.
Задание. Левой рукой начертить 3 треугольника, а правой 3 окружности.
Задание. Закрепить нос Буратино или нарисовать человечка с помощью чисел и знаков.
Блиц-тур (конкурс капитанов).
Разделить сто наполовину, сколько получиться? (200)
Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода? (нет, так как будет полночь)
Который сейчас час, если оставшаяся часть суток вдвое больше прошедшей (8 часов утра)
Существует ли наименьшее из всех неотрицательных чисел (до, 0)
Что больше весит тонна пуха или тонна металла.
Каждый знак надо поставить между 2 или 3, чтобы получилось число большее 2 и меньшее 3?
Где расстояние измеряется при помощи единицы времени?
Раунд 7. Уважаемые эрудиты! Представьте себе, что перед вами двое близнецов. Один всегда лжет, другой всегда говорит правду. Одного из близнецов зовут Джон. Вы повстречали их и хотите узнать, кто из них Джон. Разрешается задать каждому из них один и тот же вопрос (только один) , на который можно ответить односложно: «да» или «нет». (3 мин)
Ответ. Нужно спросить одного из близнецов: «Джон говорит правду?». Если ответ будет «да», то спрошенный – Джон, если «нет», то Джон второй близнец. Можно спросить и так «Лжет ли Джон?» «Нет» - скажет Джон.
Раунд 8. Хозяин нанял работника на год и обещал ему дань 12 рублей и кафтан. Но тот, поработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчете он получил кафтан и 5 рублей. Сколько стоит кафтан? (5 мин)
Ответ. Работник не недоработал у хозяина 5 месяцев и недополучил 7 рублей. Значит месячная его плата, в деньгах составляет 7/5 рублей или 1 руб.40 коп
Плата за 7 месяцев составит 7х7/5=9 4/5 рубля или 9 рублей 80 коп. Но работник получил 5 рублей и кафтан. Значит кафтан стоит 4 руб.80 коп.
Раунд 9. Уважаемые знатоки! Не хотите ли сообщить нам точно, когда начнется 22 век?
Ответ. Некоторые считают, что XXII век начнется 1 января 3000 года. Это неверно. Дело в том, что 3000 год принадлежит XXI веку (ведь нулевого года в первом веке не было). Поэтому правильный ответ таков: XXII век начнется 1 января 3001 года.
Пауза 3. Конкурс пословиц и поговорок с числами. «Быстрый счет».
Ответ (одна голова хорошо, а две лучше). Одна рука узла не вяжет. У семи нянек дитя без глазу. Семь раз отмерь – один раз отрежь. Хвастуну цена – три копейки. Не имей 100 рублей, а имей 100 друзей и т.д.
Сколько граней имеет новый шестигранный карандаш? (8 граней)
Сколько вертикальных и сколько горизонтальных отрезков изображен на рисунке (2 верт., 12 гориз.)
Что больше а или 2а? (неизвестно)
У палки 2 конца. Если один из них отпилить, сколько концов получится? (4 конца)
У куба 8 вершин, если один из них отпилить, сколько вершин будет?(7+3=10)
Двое пошли, 3 гриба нашли. Четверо пойдут, сколько грибов найдут? (неизвестно)
Чему равно 2 в квадрате? 3 в квадрате? 5 в квадрате? Угол в квадрате? (углы прямые?)
Как можно истолковать равенства 8+9=5, 3-5=10, 7-3=9 (по циферблату час).
На листе бумаги написано число 606. Какое действие надо совершить, чтобы увеличить его в полтора раза?
Три спички выложены на столе так, чтобы получилось четыре. Могло ли такое быть, если других предметов на столе не было?
Крестьянин продал на рынке трех коз по 3 рубля, спрашивается: «По чему каждая коза пошла?» (по земле)
Можно ли по 13 счетных палочек длиной по 7 см каждая, сложить метр?
В семье 2 отца и 2 сына. Сколько это человек? (трое)
Останкинская башня высотой 530 м весит 30000 тонн. Сколько будет весить точная копия этой башни высотой 53 см? (30 г)
Подведение итогов. Счет х и у?
Да, путь познания не гладок,
Но знаем мы со школьных лет:
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет.
Награждение команд.
Литература:
1. С. В. Ковалевская «Избранные произведения» / издательство « Советская Россия»,1982г.
2. Т. А. Лепехина « Математическое ассорти» / издательство « Учитель», 2008г
3. С. В. Виноградова, Н. Н. Деменева « Математика. 5-11 классы: предметные недели в школе. / издательство « Учитель», 2007г.