Multiplikativne cikličke podgrupe i grupe. Multiplikativna grupa prstena ostatka Ovdje je nekoliko podgrupa grupe Z6 generiranih raznim elementima:. Sličan primjer za multiplikativnu grupu: ovdje Iz onoga što je rečeno

Tijela su grupa, elementi roja su svi različiti od nule elementi datog tijela, a operacija se poklapa sa operacijom množenja u tijelu. M. g polja je abelova grupa. O. A. Ivanova ... Mathematical Encyclopedia

Redukovani sistem ostataka po modulu m je skup svih brojeva kompletnog sistema ostataka po modulu m koji su koprosti sa m. Redukovani sistem ostataka po modulu m sastoji se od φ(m) brojeva, gde je φ(·) Eulerova funkcija. Kao smanjeni sistem odbitaka... ... Wikipedia

Teorija grupa ... Wikipedia

Grupa u apstraktnoj algebri je neprazan skup na kojem je definirana binarna operacija koja zadovoljava dolje navedene aksiome. Grana matematike koja se bavi grupama naziva se teorija grupa. Poznati stvarni brojevi su obdareni... ... Wikipedijom

Grupa automorfizama određenog seskvilinearnog oblika f na desnom K modulu E, gdje je K prsten; u ovom slučaju f i E (a ponekad i K) zadovoljavaju dodatni uslovi. Ne postoji tačna definicija K. g. Pretpostavlja se da je f ili nula ili nedegenerisano... ... Mathematical Encyclopedia

Grupa svih inverzibilnih matrica stepena nad asocijativnim prstenom K sa identitetom; opšte prihvaćena notacija: GLn(K).ili GL(n, K). P.l. g GL(n, K) se takođe može definisati kao grupa automorfizama AutK(V) slobodnog desnog K modula Vs… … Mathematical Encyclopedia

Za opći opis teorija grupa, vidi Grupa (matematika) i Teorija grupa. Kurziv označava referencu na ovaj rečnik. # A B C D E E F G H I J J K L M N O P R S T U ... Wikipedia

4) Multiplikativna grupa ostataka prema
modul br.
Nešto teže odrediti
multiplikativna grupa ostataka po
modul br. Elementi ove grupe se formiraju
skup Z*n, koji se sastoji od elemenata Zn,
koprimeran sa n. Koncept uzajamnog
jednostavnost ima sljedeće značenje:
ako je k cijeli broj, tada je gcd(a,n) = 1
je ekvivalentno gcd(a+kn,n) =1.

Teorema 7.

Sistem
je konačna Abelova grupa.

Dokaz.

Provjerimo ima li bilo koji element
inverzno u smislu grupne operacije.
(Neutralni element je klasa C1).
Da biste pronašli inverz elementa a, razmotrite
trostruki (d,x,y) proizveden postupkom
Prošireno-Euklid(a,n). Zbog
, brojevi a i n
su relativno prosti i d= gcd(a,b) = 1, dakle
ax + ny = 1 i
, Dakle,
element je inverzan od
u grupi
.

Jedinstvenost suprotnog može se dokazati
(kao za bilo koju grupu) kako slijedi:
ako su x i x' inverzni sa a, onda
,
i preuređivanje zagrada prema asocijativnosti,
dobijamo
, itd.

U nastavku ćemo, radi jednostavnosti, sabiranje i množenje po modulu označavati uobičajenim znakovima + i ∙ (ponekad izostavljajući znak množenja), a sabirati

U nastavku ćemo, radi jednostavnosti, označiti
sabiranje i množenje po modulu uobičajeno
znakovi + i ∙ (ponekad se izostavlja znak množenja), i
aditivne i multiplikativne grupe
ostaci po modulu n će biti označeni sa Zn i Z*n
(ne spominjući rad grupe). element,
inverzno (u odnosu na operaciju množenja)
do a, označićemo a-1mod n. Kao obično,
kvocijent a/b u Z*n je definiran kao
ab-1(mod n). Na primjer, u
imamo
(mod 15),
zbog
, gdje
.

5) Broj inverzibilnih elemenata u prstenu ostatka.

Broj reverzibilnih elemenata u prstenu
odbici, tj. broj elemenata u
,
označeno sa
. Funkcija se poziva
- Eulerova funkcija.

Možemo dokazati sljedeću formulu za Eulerovu funkciju: (3) gdje je p1,....,ps lista svih prostih djelitelja broja n. Ova formula se može objasniti na sljedeći način:

Možemo dokazati sljedeću formulu za funkciju
Euler:
(3)
gdje je p1,….,ps – lista svih prostih djelitelja
brojevi n. Ova formula se može objasniti na sljedeći način:
slučajni broj t je koprost sa n ako
nije deljivo sa p1 (verovatnoća za to je
(1-1/p1)), nije djeljivo sa p2 (vjerovatnoća (1-1/p2))
itd., a ti događaji su nezavisni.

Na primjer,
,
od prostih djelitelja broja 45
su brojevi 3 i 5. Za prost broj
imamo
(4)
jer svi brojevi 1,2,…, p -1 su prosti sa p.
Ako je n složeni broj, onda

6) Podgrupe.

Neka
je grupa i
.
Ako
onda je takođe grupa
naziva se podgrupa grupe
. Na primjer,
parni brojevi čine podgrupu cijelih brojeva
(sa operacijom sabiranja).

10. Ako je podgrupa konačne grupe, onda se dijeli.

Teorema 8 (Lagrange).
Ako
je podgrupa konačne grupe
To
deli.
,

11. Dokaz.

Može se naći u udžbenicima algebre (grupa S
je podijeljen u disjunktne klase
vrsta
, od kojih svaki sadrži
elementi).
Podgrupa S' grupe S, koja se ne poklapa sa
cijela grupa se naziva svojom
podgrupa.

12. Posljedica 8.1.

Ako je S’ ispravna podgrupa konačne
grupa S, dakle
.
Ovo je (očigledna) posljedica Lagrangeove teoreme
koristi se u probabilističkoj analizi
Schiller-Rabin algoritam
(provjera primarnosti).

13. 7) Podgrupa koju generiše element grupe.

Neka je a neki element konačnog
grupa S. Razmotrimo niz
elementi
Po analogiji sa stepenom ( grupni rad
odgovara množenju) pisaćemo
itd.
Lako je to vidjeti
,
posebno
. Slično
izjava se takođe može formulisati za
"negativni stepeni"
posebno
.

14. Ako je grupa S konačna, tada će niz biti periodičan (sljedeći element je određen prethodnim, dakle, ponavlja se jednom,

Ako je grupa S konačna, onda
podsekvenca
će biti periodičan (sljedeći element
je određen prethodnim, dakle jednom
ponovljeni, elementi će se ponoviti prema
ciklus). Dakle, sekvenca
izgleda kao
(onda se sve ponavlja) i sadrži t
različitih elemenata, gdje je t najmanji
pozitivan broj za koji
.
Ovaj broj se naziva redom elementa a i
označeno sa ord(a).

15. Navedeni t elementi čine podgrupu, jer operacija grupe odgovara dodavanju “eksponenata”. Ova podgrupa se zove

Označeni t elementi se formiraju
podgrupa, jer grupni rad odgovara
sabiranje eksponenata. Ova podgrupa
naziva se generiranim elementom a i
je označeno ili ako želimo eksplicitno naznačiti
grupna operacija,(
). Element a
naziva se generatorom podgrupe
; Oni kazu,
da on rađa ovu podgrupu.
Na primjer, element a=2 grupe Z6
generiše podgrupu koja se sastoji od elemenata
0,2,4.

16. Evo nekoliko podgrupa grupe Z6 generiranih raznim elementima: . Sličan primjer za multiplikativnu grupu: ovdje Iz onoga što je rečeno

Evo nekoliko podgrupa Z6 grupe.
generiran raznim elementima:
. Slično
primjer za multiplikativnu grupu
:
Evo
Teorema 9 slijedi iz prethodnog.

17. Neka je konačna grupa. Ako, onda se broj elemenata u podgrupi koju generiše a poklapa sa redom a (tj.).

Teorema 9.
Neka
- završna grupa. Ako
, zatim broj
elementi u podgrupi koju generiše a poklapa se sa
naručiti a (tj.
).

18. Posljedica 9.1.

Subsequence
ima menstruaciju
t=ord(a);
drugim riječima
, tada i samo tada,
Kada
.
Frekvencija vam omogućava da nastavite
slijed u oba smjera, definirajući
Kako
za bilo koji cijeli broj i, uključujući
negativan.

19. Posljedica 9.2.

U finalnoj grupi
sa jedinicom e za svaki
jednakost važi
.
Dokaz. Po Lagrangeovom teoremu ord(a)
deli gde
, Gdje
, itd.

20. 8) Rješavanje linearnih diofantovih jednačina.

Nas će zanimati cijeli brojevi
rješenja jednadžbe
(5)
(ovdje su a, b i n cijeli brojevi; takve jednačine
zovu se "linearni diofantski"
jednačine"). Jasno je da je tu jedino važno
ostatak dijeljenja x sa n, pa rješavanje (5)
Prirodno je imenovati ne cijeli broj, već element
grupa Zn, (klasa brojeva koja daje isto
ostatak kada se podijeli sa n). Dakle, moguće je
formulirajte problem na ovaj način: postoje elementi
,
tražimo sve
, za koji
.

21. Podsjetimo da s označava podgrupu koju generiše element a (u ovom slučaju podgrupu grupe Zn). Prema definiciji, jednadžbe.

Da vas podsjetimo na to
označeno sa
podgrupa koju generiše element a (u ovom
slučaj podgrupa grupe Zn). A-prioritet
, pa jednadžba (5)
ima barem jedno rješenje ako i samo
onda kada
. Koliko ima elemenata
?
Po Lagrangeovom teoremu (T8) ovaj broj je
djelitelj n. U Zn, grupna operacija je
dodatak jer Zn je aditivna grupa, dakle
.

22. Neka je jednačina rješiva ​​i neka je njeno rješenje. Tada jednačina ima d = gcd(a,n) rješenja u Zn, data formulom, gdje je i = 0,1,2,..., n - 1.

Teorema 10.
Neka jednačina
rješivo i
je njegova odluka. Tada jednačina ima
d = GCD(a,n) rješenja u Zn data formulom
, gdje je i = 0,1,2,... , n - 1.

23. Dokaz.

Počevši i krećući se u koracima n/d, mi
hajde da napravimo d koraka pre nego što zatvorimo krug, jer
. Svi položeni brojevi će biti
rješenja jednadžbe
, od kada
povećanje x za n/d proizvod ah
raste za n(a/d), tj. višestrukim od n. Dakle
Dakle, naveli smo sva d rješenja.
a =b
a(+n/d)=a +an/d=a +na/d=a +kn≡a
itd.

24. Neka je n > 1. Ako je GCD(a, n) = 1, tada jednačina ima jedinstveno rješenje (u Zn). Slučaj b=1 je posebno važan - u ovom slučaju nalazimo inverzni element n od x

Zaključak 10.1
Neka je n > 1. Ako je GCD(a, n) = 1, onda jednačina
ima jedinstveno rješenje (u Zn).
Slučaj b=1 je posebno važan - u ovom slučaju mi
nalazimo element inverzan od x po modulu n, tj.
inverzni element u grupi.

25. Korolar 10.2

Neka je n > 1. Ako je gcd(a, n) = 1, onda
jednadžba ax ≡ 1 (mod n)
(6)
ima jedinstveno rješenje u Zn.
Za gcd(a, n) > 1 ova jednadžba rješenja nije
Ima.
Tako smo naučili da računamo
inverzni element u grupi u O(log n)
aritmetičke operacije.

26. 9) Kineska teorema o ostatku.

Oko 100. pne. Kineski matematičar Song
Tsu je riješio sljedeći problem: pronađi broj koji daje
Kada se podijeli sa 3, 5 i 7, ostaci su 2, 3 i 2
odnosno ( opšti oblik rješenja 23+105k
za cijeli broj k). Stoga izjava o
ekvivalencija sistema poređenja prema uzajamnim
jednostavni moduli i poređenja modula
rad se zove „Kineska teorema o
ostaci."

27. Neka je neki broj n predstavljen kao proizvod parno prostih brojeva. Kineska teorema o ostatku to kaže

Neka je neki broj n predstavljen u obliku
proizvodi parno prostih brojeva
. Kineski teorem o ostatku
navodi da je prsten ostatka Zn strukturiran kao
proizvod prstenova ostataka
(sa komponentnim sabiranjem i množenjem).
Ova korespondencija je korisna i algoritamski
gledišta, jer se može lakše izvesti
operacije u svim skupovima Zni than
direktno u Zn.

28. 10) Stepeni elementa.

Razmotrite u multiplikativnoj grupi
odbici
redosled stepeni
neki element a:
(7)
Počinjemo brojati od nule, vjerujući
;
i-ti član niza stepena broja 3 po
modul 7 ima oblik:
a za stepene 2 po modulu 7 imamo:

29. 11) Teorema 11 (Euler).

Ako je n>1 cijeli broj, onda
za svakoga
, Gdje
(8)
- Eulerova phi funkcija.
Nema dokaza.
Za prost n, teorema se pretvara u „mali
Fermatova teorema."

30. 12) Teorema 12 (Fermatova mala teorema).

Ako je p prost broj, onda
(9)
za svakoga
.
Dokaz. Pošto je p prost broj,
= p-1, h.t.d.

31. Posljedica 12.1. Neka je p prost broj. Neka je p prost broj, tada će se Fermatova teorema primijeniti i na a=0.

32. 13) Teorema 13 (Jačanje Eulerove teoreme).

Neka je n=pq, gdje su p i q različiti prosti brojevi.
Zatim za bilo koji cijeli broj a i za bilo koji
prirodno k identitet važi
.

33. itd.

Dokaz.
itd.

34. 14) Izračunavanje stepena ponovljenim kvadriranjem.

Eksponencijalni modul igra važnu ulogu
ulogu u provjeravanju brojeva za primarnost, kao i u
RSA kriptosistem. Što se tiče običnih brojeva,
ponovljeno množenje nije najbrže
način; Bolje je koristiti algoritam
ponovno kvadratura.

35. Želimo da izračunamo ab mod n, gdje je a ostatak po modulu n, a b je nenegativan cijeli broj, koji u binarnom zapisu ima oblik (bk,bk-1,... ,b1,b0) (broj z

Hajde da izračunamo ab mod n, gdje
a – ostatak po modulu n, a b – cijeli broj
nenegativan broj koji ima binarnost
zapisi oblika (bk,bk-1,... ,b1,b0) (broj znakova
smatramo jednakim k + 1; viši rangovi kao
obično na lijevoj strani). Računamo ac mod n za
neki c, koji se povećava i, na kraju
na kraju postaje jednako b.

36. Kada se c pomnoži sa 2, broj ac je na kvadrat kada se c poveća za 1, broj ac se množi sa a. U svakom koraku, binarni zapis se pomjera

1 lijevo, poslije
koja, ako je potrebno (bi=1), zadnja cifra
binarni zapis se mijenja od 0 do 1. (Imajte na umu da
da se varijabla c zapravo ne koristi i
može biti izostavljen.)

37. Procijenimo vrijeme trajanja procedure. Ako tri broja koji su njegovi početni podaci nemaju više od β bita, tada je broj aritmetičkih operacija ec

Procijenimo vrijeme trajanja procedure. Ako
tri broja koji su njegov početni
podaci nemaju više od β bita, zatim broj
aritmetičke operacije je O(β), a broj
bit - O (β 3).
Primjer (a = 7, b = 560, n=561) je prikazan
crtanje.
Kvadriranje je pomak za 1 ulijevo
moći broja.

38.

i
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
bi
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
c
1
2
4
8
17
35
70
140
280
560
d
7
49
157
526
160
241
298
166
67
1
Rice. Rad postupka erekcije
stepen po modulu n
sa a = 7, b = 560 = (1000110000) i n = 561.
Prikazane su vrijednosti varijabli nakon
sljedeće izvršenje tijela for petlje.
Procedura vraća odgovor 1.

Modulo m, što je označeno $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash puta)$ ili $U(\backslash mathbb(Z)\_m)$ .

Ako m jednostavno, onda, kao što je gore navedeno, elementi 1, 2, ..., m-1 uključeno $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash puta)$. U ovom slučaju $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash puta)$ je polje.

Forme za snimanje

Modulo rezidualni prsten n označiti $\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)$ ili $\backslash mathbb(Z)\_n$. Njegova multiplikativna grupa, kao u opštem slučaju grupa invertibilnih elemenata prstenova, označava se sa $(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))^*,$ $(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))^\backslash \; puta,$ $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)),$ $E(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)),$ $\backslash mathbb(Z)\_n^(\backslash puta),$ $U(\backslash mathbb(Z)\_n)$.

Najjednostavniji slučaj

Razumjeti strukturu grupe $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$, možemo razmotriti poseban slučaj $n=p^a$, Gdje $str$- prost broj i generalizujte ga. Razmotrimo najjednostavniji slučaj kada $a=1$, tj. $n=p$.

Teorema: $U(\backslash mathbb(Z)/p\backslash mathbb(Z))$- ciklička grupa.

Primjer : Razmotrite grupu $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$

$U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$= (1,2,4,5,7,8) Generator grupe je broj 2. $2^1\; \backslash ekviv.\; 2\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^2\; \backslash ekviv.\; 4\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^3\; \backslash ekviv.\; 8\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^4\; \backslash ekviv.\; 7\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^5\; \backslash ekviv.\; 5\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^6\; \backslash ekviv.\; 1\backslash \; \backslash pmod\; 9$ Kao što vidimo, bilo koji element grupe $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$ može se predstaviti u obliku $2^l$, Gdje . Odnosno, grupa $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$- ciklično.

Opšti slučaj

Da bismo razmotrili opći slučaj, potrebno je definirati primitivni korijen. Primitivni korijen po modulu prost $str$ je broj koji, zajedno sa svojom klasom ostataka, stvara grupu $U(\backslash mathbb(Z)/p\backslash mathbb(Z))$.

primjeri: 2 11 ; 8 - primitivni modulo korijen 11 ; 3 nije primitivni korijen po modulu 11 .

U slučaju cijelog modula $n$ definicija je ista.

Struktura grupe određena je sljedećom teoremom: Ako je p neparan prost broj, a l pozitivan cijeli broj, tada postoje primitivni korijeni po modulu $p^(l)$, to je $U(\backslash mathbb(Z)/p^(l)\backslash mathbb(Z))$- ciklička grupa.

Podgrupa svjedoka jednostavnosti

Neka $m$- neparan broj veći od 1. Broj $m-1$ jasno predstavljen u formi $m-1\; =\; 2^s\; \backslash cdot\; t$, Gdje $t$ odd. Integer $a$, , zvao svjedoči jednostavnost brojevi $m$, ako je ispunjen jedan od uslova:

• $a^t\backslash ekviv\; 1\backslash pmod\; m$

• postoji cijeli broj $k$,

Ako je broj $m$- kompozitna, postoji podgrupa multiplikativne grupe prstena ostatka, nazvana podgrupa svjedoka primarnosti. Njegovi elementi podignuti su na snagu $m-1$, podudaraju se sa $1$ modulo $m$.

Primjer : $m=9$. Jedi $6$ ostatci međusobno prosti sa $9$, Ovo $1,2,4,5,7$ I $8$. $8$ ekvivalentan $-1$ modulo $9$, znači $8^\{8\}$ ekvivalentan $1$ modulo $9$. znači, $1$ I $8$- svedoci jednostavnosti broja $9$. IN u ovom slučaju(1, 8) - podgrupa svjedoka jednostavnosti.

Svojstva

Grupni izlagač

Generatorski set

$U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$ je ciklična grupa ako i samo ako $\backslash varphi(n)=\backslash lambda(n).$ U slučaju ciklične grupe, generator se naziva primitivnim korijenom.

Primjer

Redukovani sistem modulo odbitaka $10$ obuhvata $4$ odbici: $\_\{10\},\; \_\{10\},\; \_\{10\},\; \_\{10\}$. S obzirom na množenje definirano za klase ostataka, oni čine grupu, i $\_\{10\}$ I $\_\{10\}$ su međusobno inverzne (tj $\_(10)(\backslash cdot)\_(10)\; =\; \_(10)$), A $\_\{10\}$ I $\_\{10\}$ su inverzni sami sebi.

Grupna struktura

Zapis $C\_n$ znači "ciklička grupa reda n".

Grupna struktura $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$

$n\backslash ;$	$U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$	$\backslash varphi(n)$	$\backslash lambda(n)\backslash ;$	generator		$n\backslash ;$	$U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$	$\backslash varphi(n)$	$\backslash lambda(n)\backslash ;$	generator
2	C 1	1	1	1		33	C 2 × C 10	20	10	10, 2
3	C 2	2	2	2		34	C 16	16	16	3
4	C 2	2	2	3		35	C 2 × C 12	24	12	6, 2
5	C 4	4	4	2		36	C 2 × C 6	12	6	19, 5
6	C 2	2	2	5		37	C 36	36	36	2
7	C 6	6	6	3		38	C 18	18	18	3
8	C 2 × C 2	4	2	7, 3		39	C 2 × C 12	24	12	38, 2
9	C 6	6	6	2		40	C 2 × C 2 × C 4	16	4	39, 11, 3
10	C 4	4	4	3		41	C 40	40	40	6
11	C 10	10	10	2		42	C 2 × C 6	12	6	13, 5
12	C 2 × C 2	4	2	5, 7		43	C 42	42	42	3
13	C 12	12	12	2		44	C 2 × C 10	20	10	43, 3
14	C 6	6	6	3		45	C 2 × C 12	24	12	44, 2
15	C 2 × C 4	8	4	14, 2		46	C 22	22	22	5
16	C 2 × C 4	8	4	15, 3		47	C 46	46	46	5
17	C 16	16	16	3		48	C 2 × C 2 × C 4	16	4	47, 7, 5
18	C 6	6	6	5		49	C 42	42	42	3
19	C 18	18	18	2		50	C 20	20	20	3
20	C 2 × C 4	8	4	19, 3		51	C 2 × C 16	32	16	50, 5
21	C 2 × C 6	12	6	20, 2		52	C 2 × C 12	24	12	51, 7
22	C 10	10	10	7		53	C 52	52	52	2
23	C 22	22	22	5		54	C 18	18	18	5
24	C 2 × C 2 × C 2	8	2	5, 7, 13		55	C 2 × C 20	40	20	21, 2
25	C 20	20	20	2		56	C 2 × C 2 × C 6	24	6	13, 29, 3
26	C 12	12	12	7		57	C 2 × C 18	36	18	20, 2
27	C 18	18	18	2		58	C 28	28	28	3
28	C 2 × C 6	12	6	13, 3		59	C 58	58	58	2
29	C 28	28	28	2		60	C 2 × C 2 × C 4	16	4	11, 19, 7
30	C 2 × C 4	8	4	11, 7		61	C 60	60	60	2
31	C 30	30	30	3		62	C 30	30	30	3
32	C 2 × C 8	16	8	31, 3		63	C 6 × C 6	36	6	2, 5

Aplikacija

Priča

Doprinos proučavanju strukture multiplikativne grupe prstena ostatka dali su Artin, Bilharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Fermat, Hooley, Euler. Lagrange je dokazao lemu da ako $f(x)\; \backslash in\; k[x]$, i k je polje, tada f ima najviše n različitih korijena, gdje je n stepen f. On je također dokazao važnu posljedicu ove leme, koja se sastoji u poređenju $x^(p-1)-1$ ≡ $(x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p)$. Ojler je dokazao Fermatovu malu teoremu. Waring je formulirao Wilsonovu teoremu, a Lagrange je to dokazao. Euler je predložio postojanje primitivnih korijena po modulu prostog broja. Gauss je to dokazao. Artin je iznio svoju hipotezu o postojanju i kvantificiranju prostih brojeva, po modulu kojem je dati cijeli broj primitivan korijen. Brouwer je pridonio problemu postojanja skupova uzastopnih cijelih brojeva, od kojih je svaki k-ti potencijski mod p. Bilharz je dokazao analogiju Artinove pretpostavke. Hooley je dokazao Artinovu pretpostavku pretpostavljajući validnost proširene Riemannove hipoteze u poljima algebarskih brojeva.

Napišite recenziju o članku "Multilikativna grupa prstena ostatka"

Bilješke

Književnost

• Ireland K., Rosen M. Klasičan uvod u modernu teoriju brojeva. - M.: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Osnove kriptografije. - Moskva: “Helios ARV”, 2002.
• Rostovtsev A.G., Mahhovenko E.B. Teorijska kriptografija. - Sankt Peterburg: NPO “Professional”, 2004.

Linkovi

• Bukhshtab A. A. Teorija brojeva. - M.: Prosveta, 1966.
• Weisstein, Eric W.(engleski) na web stranici Wolfram MathWorld.

Izvod koji karakterizira multiplikativnu grupu prstena ostatka

- Imam vesti. Nijedan među zarobljenicima, niko među ubijenima. Kutuzov piše", vikao je kreštavo, kao da ovim povikom želi otjerati princezu, "On je ubijen!"
Princeza nije pala, nije se onesvestila. Već je bila bleda, ali kada je čula ove reči, njeno lice se promenilo, a nešto je zablistalo u njenim blistavim, lepim očima. Kao da se radost, najveća radost, nezavisna od tuge i radosti ovoga svijeta, širila izvan intenzivne tuge koja je bila u njoj. Zaboravila je sav svoj strah od oca, prišla mu, uhvatila ga za ruku, povukla prema sebi i zagrlila njegov suhi, žilavi vrat.
"Mon pere", rekla je. “Ne okreći se od mene, plakaćemo zajedno.”
- Hulje, nitkovi! – viknuo je starac odmičući lice od nje. - Uništite vojsku, uništite ljude! Za što? Idi, idi, reci Lisi. “Princeza se bespomoćno spustila u stolicu pored oca i počela da plače. Sada je u tom trenutku ugledala svog brata kako se opraštao od nje i Lize, svojim blagim i istovremeno arogantnim pogledom. Videla ga je u tom trenutku, kako je nežno i podrugljivo stavio ikonu na sebe. „Je li vjerovao? Da li se pokajao zbog svoje nevere? Da li je sada tamo? Je li tamo, u prebivalištu vječnog mira i blaženstva?” pomislila je.
- Mon pere, [Oče,] reci mi kako je bilo? – pitala je kroz suze.
- Idi, idi, poginuli u borbi u kojoj su naredili da se pobiju najbolji ruski ljudi i ruska slava. Idi, princezo Marija. Idi i reci Lisi. Doći ću.
Kada se princeza Marija vratila od oca, mala princeza je sedela na poslu i sa onim posebnim izrazom unutrašnjeg i srećno smirenog pogleda, svojstvenog samo trudnicama, pogledala je princezu Mariju. Bilo je jasno da njene oči ne vide princezu Mariju, već gledaju duboko u sebe - u nešto srećno i tajanstveno što se dešava u njoj.
„Marie,“ rekla je, odmičući se od obruča i gegajući se nazad, „daj mi svoju ruku.“ “Uzela je princezinu ruku i stavila je na stomak.
Oči su joj se s iščekivanjem nasmiješile, sunđer s brkovima se podigao i djetinjasto sretno ostao podignut.
Princeza Marija je kleknula ispred nje i sakrila lice u nabore haljine svoje snahe.
- Evo, evo - čujete li? To mi je tako čudno. I znaš, Mari, mnogo ću ga voljeti”, rekla je Lisa, gledajući svoju snaju blistavim, sretnim očima. Princeza Marija nije mogla da podigne glavu: plakala je.
- Šta je s tobom, Maša?
„Ništa... Bila sam tako tužna... tužna zbog Andreja,” rekla je, brišući suze na kolenima svoje snahe. Nekoliko puta tokom jutra princeza Marija je počela da sprema svoju snahu i svaki put je počela da plače. Ove suze, razlog zbog kojeg mala princeza nije razumela, uznemirile su je, ma koliko bila malo pažljiva. Nije rekla ništa, već je nemirno gledala oko sebe, tražeći nešto. Prije večere, stari princ, kojeg se oduvijek plašila, ušao je u njenu sobu, sada posebno nemirnog, ljutog lica, i bez riječi otišao. Pogledala je princezu Mariju, a onda pomislila sa onim izrazom u očima usmerenom ka unutra koju trudnice imaju, i odjednom počela da plače.
– Jeste li dobili nešto od Andreja? - ona je rekla.
- Ne, znaš da vijesti još nisu mogle stići, ali mon pere je zabrinut, a ja se bojim.
- Ma ništa?
„Ništa“, rekla je princeza Marija, gledajući čvrsto u svoju snaju blistavim očima. Odlučila je da joj to ne kaže i nagovorila je oca da sakrije primitak strašne vijesti od snahe do njenog odobrenja, a to je trebalo biti prije neki dan. Princeza Marija i stari princ, svaki na svoj način, nosili su i skrivali svoju tugu. Stari knez se nije želeo nadati: odlučio je da je princ Andrej ubijen, i uprkos činjenici da je poslao službenika u Austriju da traži trag njegovog sina, naredio je da mu se u Moskvi postavi spomenik koji je nameravao da podigne. u svojoj bašti i rekao svima da mu je sin ubijen. Pokušao je da vodi svoj prethodni način života bez promjene, ali ga je snaga iznevjerila: manje je hodao, manje jeo, manje spavao i svakim danom bivao sve slabiji. Nadala se princeza Marija. Molila se za brata kao da je živ i svakog minuta čekala vijesti o njegovom povratku.

"Ma bonne amie, [moj dobri prijatelju,"] rekla je mala princeza ujutro 19. marta nakon doručka, a njen sunđer sa brkovima se digao po staroj navici; ali kao što je u svim ne samo osmjesima, već i zvucima govora, čak i hodu u ovoj kući od dana kada je primljena strašna vijest, bilo tuge, tako je sada osmeh male princeze, koja je podlegla opštem raspoloženju, iako nije znala njegov razlog, bila je takva da me je još više podsjetila na opštu tugu.
- Ma bonne amie, je crains que le fruschtique (comme dit Foka - kuhar) de ce matin ne m "aie pas fait du mal." učinit će da se osjećam loše.
- Šta je s tobom, dušo moja? Blijeda si. „Oh, baš si bleda“, rekla je princeza Marija uplašeno, trčeći do snahe svojim teškim, mekim koracima.
- Vaša Ekselencijo, da pošaljem po Marju Bogdanovnu? - rekla je jedna od sobarica koja je bila ovde. (Marija Bogdanovna je bila babica iz okružnog grada koja je još nedelju dana živela u Ćelavim planinama.)
"I zaista", pokupila je princeza Marija, "možda sigurno." Ići ću. Hrabrost, mon ange! [Ne boj se, anđele moj.] Poljubila je Lizu i htela da izađe iz sobe.
- Oh, ne, ne! - I pored bljedila, lice male princeze izražavalo je detinjast strah od neizbežne fizičke patnje.
- Non, c"est l"estomac... dites que c"est l"estomac, dites, Marie, dites..., [Ne, ovo je stomak... reci mi, Masha, da je ovo stomak ...] - i princeza je počela plakati djetinjasto, bolno, hirovito i čak pomalo hinjeno, krčeći svoje male ruke. Princeza je istrčala iz sobe za Marijom Bogdanovnom.
- Mon Dieu! Mon Dieu! [Moj bože! Oh moj Bože!] Oh! – čula je iza sebe.
Trljajući svoje debele, male, bele ruke, babica je već koračala prema njoj, značajno smirenog lica.
- Marija Bogdanovna! Čini se da je počelo”, rekla je princeza Marija, gledajući svoju baku uplašenih, otvorenih očiju.
„Pa, ​​hvala Bogu, princezo“, reče Marija Bogdanovna ne pojačavajući korak. "Vi devojke ne bi trebalo da znate za ovo."
- Ali kako to da doktor još nije stigao iz Moskve? - rekla je princeza. (Na zahtjev Lize i princa Andreja, akušer je na vrijeme poslan u Moskvu i očekivao se svakog minuta.)
"U redu je, princezo, ne brini", reče Marija Bogdanovna, "a bez doktora će sve biti u redu."
Pet minuta kasnije, princeza je čula iz svoje sobe da nose nešto teško. Pogledala je - konobari su iz nekog razloga u spavaću sobu nosili kožnu sofu koja se nalazila u kancelariji princa Andreja. Bilo je nešto svečano i tiho na licima ljudi koji su ih nosili.
Princeza Marija je sedela sama u svojoj sobi, osluškujući zvukove kuće, povremeno otvarajući vrata kada bi prolazili i pažljivo posmatrajući šta se dešava u hodniku. Nekoliko žena je tihim koracima ulazilo i izlazilo, pogledalo princezu i okrenulo se od nje. Nije se usudila da pita, zatvorila je vrata, vratila se u svoju sobu, a onda sela u stolicu, pa uzela molitvenik, pa kleknula ispred kutije sa ikonama. Nažalost i na svoje iznenađenje, osjetila je da molitva nije smirila njenu tjeskobu. Odjednom su se vrata njene sobe tiho otvorila i njena stara dadilja Praskovya Savišna, vezana šalom, pojavila se na pragu gotovo nikada, zbog prinčeve zabrane, nije ušla u njenu sobu.
„Došla sam da sednem s tobom, Mašenko“, rekla je dadilja, „ali sam iznela prinčeve svadbene sveće pred sveca, anđela mog“, rekla je uzdahnuvši.
- Oh, tako mi je drago, dadilje.
- Bog je milostiv, draga. - Dadilja je zapalila sveće optočene zlatom ispred kovčega ikone i sela sa čarapom pored vrata. Princeza Marija uzela je knjigu i počela da čita. Tek kada su se začuli koraci ili glasovi, princeza se uplašeno, upitno pogleda, i dadilja. U svim dijelovima kuće izlio se isti osjećaj koji je kneginja Marija doživjela dok je sjedila u svojoj sobi i zauzeo sve. Prema vjerovanju da što manje ljudi zna za patnju porođajnice, ona manje pati, svi su se trudili da se prave da ne znaju; niko o tome nije govorio, ali u svim ljudima, pored uobičajene staloženosti i poštovanja lepog ponašanja koje je vladalo u kneževom domu, videla se jedna zajednička briga, mekoća srca i svest o nečem velikom, neshvatljivom, odvija u tom trenutku.
Nije se mogao čuti smijeh u velikoj sobarici. U konobarici su svi ljudi sjedili i ćutali, spremni da nešto urade. Sluge su palile baklje i svijeće i nisu spavale. Stari knez, stadeći mu na petu, prošetao je po kancelariji i poslao Tihona Mariji Bogdanovnoj da pita: šta? - Samo mi reci: knez mi je naredio da pitam šta? i dođi mi reći šta ona kaže.
„Javite knezu da su porodi počeli“, reče Marija Bogdanovna, značajno pogledavši glasnika. Tihon je otišao i prijavio se knezu.
„U redu“, rekao je princ, zatvarajući vrata za sobom, a Tihon više nije čuo ni najmanji zvuk u kancelariji. Malo kasnije, Tihon je ušao u kancelariju, kao da želi da namjesti svijeće. Videvši da princ leži na divanu, Tihon je pogledao princa, njegovo uznemireno lice, odmahnuo glavom, nečujno mu prišao i, poljubivši ga u rame, otišao ne namjestivši svijeće i ne rekavši zašto je došao. Nastavilo se obavljati najsvečaniji sakrament na svijetu. Prošlo je veče, došla je noć. A osjećaj iščekivanja i omekšavanja srca pred neshvatljivim nije pao, nego se dizao. Niko nije spavao.

Bila je to jedna od onih martovskih noći kada se čini da zima želi da uzme svoj danak i izlije svoje posljednje snijegove i oluje sa očajničkim bijesom. U susret njemačkom doktoru iz Moskve, kojeg su svakog minuta očekivali i kome je upućena podrška na magistralni put, do skretanja na seoski put, poslani su konjanici sa fenjerima da ga provedu kroz rupe i gužve.
Princeza Marija je davno napustila knjigu: sedela je ćutke, uprla blistave oči u naborano lice dadilje, poznato do najsitnijeg detalja: na pramen sijede kose koji je pobjegao ispod šala, na obješenu torbicu kože ispod njene brade.
Dadilja Savišna, sa čarapom u rukama, tihim glasom ispričala je, ne čujući i ne razumevajući sopstvene reči, ono što je stotinama puta ispričano o tome kako je pokojna princeza u Kišinjevu rodila princezu Mariju, umesto moldavske seljanke njene bake.
„Bože smiluj se, nikad ti ne treba doktor“, rekla je. Odjednom je nalet vjetra udario u jedan od otkrivenih okvira sobe (prinčevom voljom uvijek je u svakoj prostoriji bio izložen po jedan okvir sa ševama) i, otkinuvši loše zatvorenu zasun, zalepršao zavjesu od damasta i, namirisavši hladnoća i snijeg, ugasila svijeću. Princeza Marija je zadrhtala; Dadilja je, spustivši čarapu, prišla prozoru, nagnula se i počela da hvata presavijeni okvir. Hladan vjetar mrsio joj je vrhove marame i sijede, zalutale pramenove kose.
- Princezo, majko, neko vozi drumom napred! - rekla je držeći okvir i ne zatvarajući ga. - Sa fenjerima, trebalo bi doktore...
- O moj boze! Nazdravlje! - reče kneginja Marija, - moramo da ga upoznamo: on ne zna ruski.
Princeza Marija je nabacila svoj šal i potrčala prema onima koji su putovali. Kad je prošla pred hodnikom, kroz prozor je vidjela da na ulazu stoji nekakva kočija i fenjeri. Izašla je na stepenice. Na stubu ograde bila je lojena svijeća koja je tekla od vjetra. Konobar Filip, uplašenog lica i još jedne svijeće u ruci, stajao je dolje, na prvom podestu stepenica. Još niže, iza krivine, uz stepenice, čuli su se pokretni koraci u toplim čizmama. I neki poznati glas, kako se kneginji Mariji učini, reče nešto.

Ti nisi rob!
Zatvoreni edukativni kurs za djecu elite: "Pravo uređenje svijeta."
http://noslave.org

Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije

Multiplikativna grupa prstena ostatka modulo m- multiplikativna grupa invertibilnih elemenata prstena ostatka po modulu m. U ovom slučaju, svaki redukovani sistem modulo ostataka može se smatrati skupom elemenata m.

Smanjeni sistem odbitaka

Smanjeni sistem odbitaka modulo m- skup svih brojeva kompletnog sistema modulo ostataka m, koprimeran sa m. Kao redukovani sistem modulo odbitaka m Obično uzimamo koprime m brojevi od 1 prije m - 1 .

Primjer: redukovani sistem ostataka po modulu 42 će biti: ( 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41).

Svojstva

Redukovani sistem ostataka sa modulo množenjem m formira grupu tzv multiplikativna grupa ili grupa invertibilnih elemenata prstena ostatka po modulu m , što je označeno texvc ili Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)_m) .

Ako m jednostavno, onda, kao što je gore navedeno, elementi 1, 2, ..., m-1 uključeno Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \mathbb(Z)_m^(\times). U ovom slučaju Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \mathbb(Z)_m^(\times) je polje.

Forme za snimanje

Modulo rezidualni prsten n označiti Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \mathbb(Z)/n\mathbb(Z) ili Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README - pomoć pri postavljanju.): \mathbb(Z)_n. Njegova multiplikativna grupa, kao u opštem slučaju grupa invertibilnih elemenata prstenova, označava se sa Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README - pomoć pri postavljanju.): (\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))^*, Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README - pomoć pri postavljanju.): (\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))^\puta, Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)), Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): E(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)), Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README - pomoć pri postavljanju.): \mathbb(Z)_n^(\times), Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)_n) .

Najjednostavniji slučaj

Razumjeti strukturu grupe Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc , možemo razmotriti poseban slučaj Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): n=p^a, Gdje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc - prost broj i generalizujte ga. Razmotrimo najjednostavniji slučaj kada Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć za podešavanje.): a=1, tj. Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć za podešavanje.): n=p .

Teorema: Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc - ciklička grupa.

Primjer : Razmotrite grupu Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))= (1,2,4,5,7,8) Generator grupe je broj 2. Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 2^1 \equiv 2\ \pmod 9 Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 2^2 \equiv 4\ \pmod 9 Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 2^3 \equiv 8\ \pmod 9 Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 2^4 \equiv 7\ \pmod 9 Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 2^5 \equiv 5\ \pmod 9 Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 2^6 \equiv 1\ \pmod 9 Kao što vidimo, bilo koji element grupe Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z)) može se predstaviti u obliku Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): 2^l, Gdje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 1\le\ell< \varphi(m) . Odnosno, grupa Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))- ciklično.

Opšti slučaj

Da bismo razmotrili opći slučaj, potrebno je definirati primitivni korijen. Primitivni korijen po modulu prost Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.):str je broj koji, zajedno sa svojom klasom ostataka, stvara grupu Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)/p\mathbb(Z)) .

primjeri: 2 11 ; 8 - primitivni modulo korijen 11 ; 3 nije primitivni korijen po modulu 11 .

U slučaju cijelog modula Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): n definicija je ista.

Struktura grupe određena je sljedećom teoremom: Ako je p neparan prost broj, a l pozitivan cijeli broj, tada postoje primitivni korijeni po modulu Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): p^(l), to je Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)/p^(l)\mathbb(Z))- ciklička grupa.

Podgrupa svjedoka jednostavnosti

Neka Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc - neparan broj veći od 1. Broj Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc jasno predstavljen u formi Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): m-1 = 2^s \cdot t, Gdje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): t odd. Integer Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): a , Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 1< a < m , zvao svjedoči jednostavnost brojevi Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): m, ako je ispunjen jedan od uslova:

• Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): a^t\equiv 1\pmod m

• postoji cijeli broj Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): k , Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć za podešavanje.): 0\leq k , takav da Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): a^(2^kt)\equiv m-1\pmod m.

Ako je broj Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): m- kompozitna, postoji podgrupa multiplikativne grupe prstena ostatka, nazvana podgrupa svjedoka primarnosti. Njegovi elementi podignuti su na snagu Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): m-1, podudaraju se sa Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc modulo Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): m .

Primjer : Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): m=9. Jedi Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 6 ostatci međusobno prosti sa Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc , Ovo Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): 1,2,4,5,7 I Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc . Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 8 ekvivalentan Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): -1 modulo Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 9, znači Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): 8^(8) ekvivalentan Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 1 modulo Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 9. znači, Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 1 I Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 8- svedoci jednostavnosti broja Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 9. U ovom slučaju (1, 8) je podgrupa svjedoka jednostavnosti.

Svojstva

Grupni izlagač

Generatorski set

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)) je ciklična grupa ako i samo ako Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \varphi(n)=\lambda(n). U slučaju ciklične grupe, generator se naziva primitivnim korijenom.

Primjer

Redukovani sistem modulo odbitaka Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): 10 obuhvata Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 4 odbici: Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README - pomoć pri postavljanju.): _(10), _(10), _(10), _(10). S obzirom na množenje definirano za klase ostataka, oni čine grupu, i Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc I Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): _(10) su međusobno inverzne (tj Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README - pomoć pri postavljanju.): _(10)(\cdot)_(10) = _(10)), A Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): _(10) I Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): _(10) su inverzni sami sebi.

Grupna struktura

Zapis Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): C_n znači "ciklička grupa reda n".

Grupna struktura Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc	Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))	Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc	Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc	generator		Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): n\;	Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))	Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \varphi(n)	Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README - pomoć pri postavljanju.): \lambda(n)\;	generator
2	C 1	1	1	1		33	C 2 × C 10	20	10	10, 2
3	C 2	2	2	2		34	C 16	16	16	3
4	C 2	2	2	3		35	C 2 × C 12	24	12	6, 2
5	C 4	4	4	2		36	C 2 × C 6	12	6	19, 5
6	C 2	2	2	5		37	C 36	36	36	2
7	C 6	6	6	3		38	C 18	18	18	3
8	C 2 × C 2	4	2	7, 3		39	C 2 × C 12	24	12	38, 2
9	C 6	6	6	2		40	C 2 × C 2 × C 4	16	4	39, 11, 3
10	C 4	4	4	3		41	C 40	40	40	6
11	C 10	10	10	2		42	C 2 × C 6	12	6	13, 5
12	C 2 × C 2	4	2	5, 7		43	C 42	42	42	3
13	C 12	12	12	2		44	C 2 × C 10	20	10	43, 3
14	C 6	6	6	3		45	C 2 × C 12	24	12	44, 2
15	C 2 × C 4	8	4	14, 2		46	C 22	22	22	5
16	C 2 × C 4	8	4	15, 3		47	C 46	46	46	5
17	C 16	16	16	3		48	C 2 × C 2 × C 4	16	4	47, 7, 5
18	C 6	6	6	5		49	C 42	42	42	3
19	C 18	18	18	2		50	C 20	20	20	3
20	C 2 × C 4	8	4	19, 3		51	C 2 × C 16	32	16	50, 5
21	C 2 × C 6	12	6	20, 2		52	C 2 × C 12	24	12	51, 7
22	C 10	10	10	7		53	C 52	52	52	2
23	C 22	22	22	5		54	C 18	18	18	5
24	C 2 × C 2 × C 2	8	2	5, 7, 13		55	C 2 × C 20	40	20	21, 2
25	C 20	20	20	2		56	C 2 × C 2 × C 6	24	6	13, 29, 3
26	C 12	12	12	7		57	C 2 × C 18	36	18	20, 2
27	C 18	18	18	2		58	C 28	28	28	3
28	C 2 × C 6	12	6	13, 3		59	C 58	58	58	2
29	C 28	28	28	2		60	C 2 × C 2 × C 4	16	4	11, 19, 7
30	C 2 × C 4	8	4	11, 7		61	C 60	60	60	2
31	C 30	30	30	3		62	C 30	30	30	3
32	C 2 × C 8	16	8	31, 3		63	C 6 × C 6	36	6	2, 5

Aplikacija

Priča

Doprinos proučavanju strukture multiplikativne grupe prstena ostatka dali su Artin, Bilharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Fermat, Hooley, Euler. Lagrange je dokazao lemu da ako Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): f(x) \in k[x], i k je polje, tada f ima najviše n različitih korijena, gdje je n stepen f. On je također dokazao važnu posljedicu ove leme, koja se sastoji u poređenju Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): x^(p-1)-1 ≡ Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): (x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p). Ojler je dokazao Fermatovu malu teoremu. Waring je formulirao Wilsonovu teoremu, a Lagrange je to dokazao. Euler je predložio postojanje primitivnih korijena po modulu prostog broja. Gauss je to dokazao. Artin je iznio svoju hipotezu o postojanju i kvantificiranju prostih brojeva, po modulu kojem je dati cijeli broj primitivan korijen. Brouwer je pridonio problemu postojanja skupova uzastopnih cijelih brojeva, od kojih je svaki k-ti potencijski mod p. Bilharz je dokazao analogiju Artinove pretpostavke. Hooley je dokazao Artinovu pretpostavku pretpostavljajući validnost proširene Riemannove hipoteze u poljima algebarskih brojeva.

Napišite recenziju o članku "Multilikativna grupa prstena ostatka"

Bilješke

Književnost

• Ireland K., Rosen M. Klasičan uvod u modernu teoriju brojeva. - M.: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Osnove kriptografije. - Moskva: “Helios ARV”, 2002.
• Rostovtsev A.G., Mahhovenko E.B. Teorijska kriptografija. - Sankt Peterburg: NPO “Professional”, 2004.

Linkovi

• Bukhshtab A. A. Teorija brojeva. - M.: Prosveta, 1966.
• Weisstein, Eric W.(engleski) na web stranici Wolfram MathWorld.

Izvod koji karakterizira multiplikativnu grupu prstena ostatka

- Nisam čudan - samo sam živ. Ali ja živim među dva svijeta – živim i mrtvim... I mogu vidjeti ono što mnogi, nažalost, ne vide. Vjerovatno mi zato niko ne vjeruje... Ali sve bi bilo mnogo jednostavnije kada bi ljudi slušali i razmišljali barem minut, pa makar i ne vjerovali... Ali mislim da ako se to dogodi kad jednog dana, sigurno neće se desiti danas... A danas moram da živim sa ovim...
„Tako mi je žao, dušo...“ šapnuo je čovek. “I znate, ovdje ima puno ljudi poput mene.” Ovde ih ima na hiljade... Verovatno bi vas zanimalo da razgovarate sa njima. Postoje čak i pravi heroji, ne kao ja. Ovde ih ima mnogo...
Odjednom sam imao divlju želju da pomognem ovom tužnom, usamljenom čovjeku. Istina, nisam imao pojma šta mogu učiniti za njega.
"Želiš li da stvorimo drugi svijet za tebe dok si ovdje?", iznenada je upitala Stela.
Bila je to odlična ideja, i bilo me je malo sramota što mi nije pala na pamet prva. Stella je bila divna osoba, i nekako je uvijek pronalazila nešto lijepo što bi moglo donijeti radost drugima.
– Kakav „drugi svet“?.. – začudi se čovek.
- Ali gle... - i u njegovoj mračnoj, sumornoj pećini odjednom je zasjala jarka, radosna svetlost!.. - Kako vam se sviđa ova kuća?
Oči našeg "tužnog" prijatelja radosno su zasjale. Zbunjeno je gledao oko sebe, ne shvatajući šta se ovde dogodilo... A u njegovoj jezovitoj, mračnoj pećini sunce je sad sijalo veselo i jarko, mirisalo je bujno zelenilo, odzvanjao je pjev ptica, i osećao se neverovatan miris rascvetalog cveća. .. I zapravo u njegovom krajnjem kutu veselo je žuborio potok, prskajući kapljice najčistije, najsvježije, kristalne vode...
- Izvoli! Kako želite? – veselo je upitala Stela.
Čovek, potpuno zaprepašćen onim što je video, nije progovorio ni reč, samo je gledao svu ovu lepotu raširenih očiju u kojima su drhtave kapi „srećnih“ suza sijale poput čistih dijamanata...
„Gospode, prošlo je tako dugo otkako nisam video sunce!“ prošaptao je tiho. -Ko si ti, devojko?
- Oh, ja sam samo osoba. Isti kao i ti - mrtav. Ali evo je, već znate - živa. Ponekad hodamo ovdje zajedno. I pomažemo ako možemo, naravno.
Bilo je jasno da je beba zadovoljna postignutim efektom i da se bukvalno vrpoljila od želje da ga produži...
- Da li ti se stvarno sviđa? Želiš li da tako i ostane?
Čovek je samo klimnuo glavom, ne mogavši ​​da izgovori nijednu reč.
Nisam ni pokušavao da zamislim kakvu je sreću morao doživeti nakon crnog užasa u kojem se nalazio svaki dan toliko dugo!..
“Hvala ti, dušo...” tiho je šapnuo čovjek. - Samo mi reci, kako ovo može ostati?..
- Oh, lako je! Vaš svijet će biti samo ovdje, u ovoj pećini, i niko ga neće vidjeti osim vas. I ako ne odeš odavde, on će ostati s tobom zauvijek. Pa, doći ću kod vas da provjerim... Zovem se Stela.
- Ne znam šta da kažem za ovo... Ne zaslužujem. Ovo je vjerovatno pogrešno... Moje ime je Luminary. Da, nije doneo mnogo "svetla" do sada, kao što vidite...
- Oh, nema veze, donesi mi još! – bilo je jasno da je devojčica veoma ponosna na ono što je uradila i da je prštala od zadovoljstva.
“Hvala vam dragi...” Svetiljka je sjedila pognute glave i odjednom počela da plače kao dijete...
“Pa, šta je sa drugima koji su isti?..” tiho sam šapnula Steli na uho. – Mora da ih je mnogo, zar ne? Šta učiniti s njima? Uostalom, nije fer pomoći nekome. I ko nam je dao pravo da sudimo ko je od njih dostojan takve pomoći?
Stellino lice se odmah namrštilo...
– Ne znam... Ali znam sigurno da je to tačno. Da nije u redu, ne bismo uspjeli. Ovde postoje različiti zakoni...
Odjednom mi je sinulo:
- Čekaj malo, a naš Harold?!.. Uostalom, on je bio vitez, znači i ubio? Kako je uspeo da ostane tamo, na "gornjem spratu"?..
“Platio je za sve što je uradio... Pitala sam ga za ovo – platio je veoma skupo...” odgovorila je Stela ozbiljno, smešno naborajući čelo.
- Čime si platio? - Nisam razumio.
„Suština...“ tužno je prošaputala devojčica. “Odrekao se dijela svoje suštine zbog onoga što je radio tokom svog života.” Ali njegova suština je bila vrlo visoka, pa je, čak i nakon što je dao dio nje, ipak mogao ostati "na vrhu". Ali vrlo malo ljudi to može učiniti, samo istinski visoko razvijeni entiteti. Ljudi obično gube previše i završe mnogo niže nego što su prvobitno bili. Kako sjajno...
Bilo je nevjerovatno... To znači da su ljudi, učinivši nešto loše na Zemlji, izgubili dio sebe (tačnije, dio svog evolucijskog potencijala), a čak su i pri tome morali ostati u tom košmarnom užasu, koji je bio zvani - "niži" Astral... Da, za greške se, zaista, skupo platilo...
„E, sad možemo da idemo“, cvrkutala je devojčica, zadovoljno odmahujući rukom. - Zbogom, Luminary! Doći ću ti!
Nastavili smo dalje, a naš novi prijatelj je i dalje sjedio, smrznut od neočekivane sreće, pohlepno upijajući toplinu i ljepotu svijeta koji je stvorila Stela, i uranjajući u njega duboko kao što bi to učinila osoba na samrti, upijajući život koji se iznenada vratio za njega... .
"Da, tako je, bio si potpuno u pravu!", rekao sam zamišljeno.
Stella je blistala.
U "najduginijem" raspoloženju, tek smo skrenuli prema planinama kada je iz oblaka iznenada izronilo ogromno stvorenje sa šiljastim kandžama i jurnulo pravo na nas...
- Budi pazljiv! – zacvilila je Stela, a ja sam tek uspela da vidim dva reda zuba oštrih kao žilet, i od snažnog udarca u leđa sam se otkotrljala glavom preko peta na zemlju...
Od divljeg užasa koji nas je obuzeo, jurnuli smo kao meci širokom dolinom, ni ne pomišljajući da možemo brzo da pređemo na drugi „sprat”... Jednostavno nismo imali vremena da razmišljamo o tome – bili smo previše uplašeni.
Stvorenje je poletelo tačno iznad nas, glasno škljocnuvši razjapljenim zubastim kljunom, a mi smo jurili najbrže što smo mogli, prskajući podle ljigave prske u stranu i mentalno se moleći da nešto drugo odjednom zainteresuje ovu jezivu "čudotvornu pticu"... osjećala se da je bila mnogo brža i jednostavno nismo imali šanse da se otrgnemo od nje. Srećom, ni jedno drvo nije raslo u blizini, nije bilo grmlja, pa čak ni kamenja iza kojeg bi se moglo sakriti, samo se u daljini nazirala zlokobna crna stijena.
- Tamo! – viknula je Stela, upirući prstom u isti kamen.
Ali iznenada, neočekivano, tik ispred nas, odnekud se pojavilo stvorenje od čijeg prizora nam je bukvalno ledila krv u venama... Učinilo se kao da je „iz ničega“ i bilo je zaista zastrašujuće... ogroman crni leš bio je potpuno prekriven dugom, grubom dlakom, zbog čega je izgledao kao trbušasti medvjed, samo što je ovaj "medvjed" bio visok kao trospratna kuća... Kvrgava glava čudovišta bila je "okrunjena" sa dva ogromna zakrivljena rogove, a sablasna usta bila su ukrašena parom neverovatno dugih očnjaka, oštrih kao noževi, samo pri pogledu na koje su nam, od straha, noge pokleknule... A onda je, neverovatno nas iznenadivši, čudovište lako skočilo i. .. pokupio leteću „muć“ na jednom od svojih ogromnih očnjaka... Smrzli smo se od šoka.
- Bežimo!!! – zacvilila je Stella. – Trčimo dok je on „zauzet“!..
I bili smo spremni da ponovo jurimo ne osvrćući se, kada se odjednom iza naših leđa začuo tanak glas:
- Devojke, čekajte!!! Ne treba bježati!.. Spasio te Din, on nije neprijatelj!
Naglo smo se okrenuli - iza nas je stajala sićušna, veoma lepa crnooka devojčica... i mirno milovala čudovište koje joj se približilo!.. Oči su nam se raširile od iznenađenja... Bilo je neverovatno! Svakako - bio je to dan iznenađenja!.. Djevojka se, gledajući nas, nasmiješila dobrodošlice, nimalo se ne plašeći krznenog čudovišta koje je stajalo pored nas.
- Molim te, nemoj ga se plašiti. On je veoma ljubazan. Vidjeli smo da te Ovara juri i odlučili smo pomoći. Dean je bio odličan, stigao je na vrijeme. Stvarno, draga moja?
“Dobro” je predeo, što je zvučao kao blagi zemljotres, i, sagnuvši glavu, polizao djevojčino lice.
– Ko je Ovara i zašto nas je napala? - Pitao sam.
“Ona napada sve, ona je grabežljivac.” I veoma opasno”, mirno je odgovorila devojka. – Mogu li da pitam šta radiš ovde? Niste odavde, devojke?
- Ne, ne odavde. Samo smo šetali. Ali isto pitanje za tebe - šta ti radiš ovde?
Idem da vidim mamu...” rastužila se devojčica. “Umrli smo zajedno, ali ona je iz nekog razloga završila ovdje.” I sad živim ovdje, ali joj to ne govorim, jer se ona nikada neće složiti s tim. Ona misli da upravo dolazim...
– Nije li bolje samo doći? Ovde je tako strašno!.. – Stela je slegnula ramenima.
“Ne mogu da je ostavim ovde samu, gledam je da joj se ništa ne desi.” I evo Deana sa mnom... Pomaže mi.
Prosto nisam mogla da verujem... Ova mala hrabra devojčica je svojevoljno napustila svoj prelepi i ljubazni „pod” da bi živela u ovom hladnom, strašnom i stranom svetu, štiteći svoju majku, koja je na neki način bila veoma „kriva”! Mislim da ne bi bilo mnogo ljudi tako hrabrih i nesebičnih (čak i odraslih!) koji bi se usudili na takav podvig... I odmah sam pomislio - možda ona jednostavno nije shvatila na šta će se osuditi ?!
– Koliko dugo si ovde, devojko, ako nije tajna?
“Nedavno...” tužno je odgovorila crnooka beba, čupajući prstima crni pramen svoje kovrdžave kose. – Našla sam se u tako lepom svetu kad sam umrla!.. Bio je tako ljubazan i bistar!.. A onda sam video da moja majka nije sa mnom i pojurio sam da je tražim. Bilo je tako strašno u početku! Iz nekog razloga nije je bilo nigdje... I onda sam pao u ovaj strašni svijet... I onda sam je pronašao. Bio sam tako uplašen ovdje... Tako sam usamljen... Mama mi je rekla da odem, čak me je i grdila. Ali ne mogu da je ostavim... Sada imam prijatelja, mog dobrog Dekana, i već nekako mogu da postojim ovde.
Njena “dobra drugarica” je ponovo zarežala, što je Stelu i mene naježilo... Sabravši se, pokušao sam da se malo smirim i počeo izbliza da gledam ovo krzneno čudo... A on, odmah osetivši da je primećen, strašno je ogolio očnjasta usta... Odskočio sam.
- Oh, ne boj se, molim te! „Smiješi ti se“, uvjerila je djevojka.
Da... Naučićeš da brzo trčiš od takvog osmeha... - pomislio sam u sebi.
- Kako se dogodilo da ste se sprijateljili s njim? – upitala je Stela.
– Kada sam prvi put došao ovde, bio sam veoma uplašen, posebno kada su takva čudovišta kao što ste vi danas napadali. A onda me jednog dana, kada sam zamalo umro, Dean spasio od čitave gomile jezivih letećih "ptica". I ja sam ga se prvo plašila, ali sam onda shvatila kakvo zlatno srce ima... On je najbolji drug! Nikad nisam imao ništa slično, čak ni dok sam živio na Zemlji.
- Kako ste se tako brzo navikli? Njegov izgled nije baš, da kažemo, poznat...
– I tu sam shvatio jednu vrlo jednostavnu istinu, koju iz nekog razloga nisam primetio na Zemlji – izgled nije važan da li čovek ili stvorenje ima dobro srce... Moja majka je bila veoma lepa, ali je ponekad bila veoma ljuta također. A onda je sva njena lepota negde nestala... A Din, iako jeziv, uvek je veoma ljubazan, i uvek me štiti, osećam njegovu dobrotu i ničega se ne plašim. Ali možete se naviknuti na izgled...